Економічні науки / Математичні методи в економіці

Романич І.Б.

Львівський національний університет імені Івана Франка

Оптимізаційна модель задачі забезпечення невзаємозамінних багатопродуктових потреб споживачів за допомогою спеціалізованих транспортних засобів

У практиці економічних досліджень нерідко зустрічаються досить специфічні і складні задачі транспортного типу. Однією із таких задач виступає проблема забезпечення потреб кількох споживачів одночасно в певному наборі товарів. Доставка цих продуктів здійснюється спеціалізованими транспортними засобами, на роботу яких накладається ряд додаткових обмежень. Прикладом такого типу задачі може служити проблема розвезення з нафтобази набору світлих нафтопродуктів до автозаправних станцій, потреби яких по кожному виду палива задаються. Спеціалізованими транспортними засобами в цьому випадку виступають бензовози, які, як правило, є декілька секційні. На роботу транспортних засобів може бути накладено ряд обмежень, скажімо, по часу, способу завантаження, способу зливу тощо.

Нехай – множина транспортних засобів; – множина допустимих маршрутів s-ого транспортного засобу; – множина всіх допустимих маршрутів, причому .

Слід зазначити, що кожен допустимий маршрут може бути виконаний тільки одним транспортним засобом. Це означає, що для двох довільних транспортних засобів виконується умова .

Маршрут називатимемо допустимим для s-ого транспортного засобу, якщо він може бути ним виконаний з урахуванням всіх обмежень задачі.

Кожен допустимий маршрут з номером характеризується двома величинами: матрицею призначень нафтопродуктів та вектором послідовності проїзду точок призначення.

Елемент матриці показує кількість продукції k-ого виду, що повинна бути доставлена j-ому споживачу l-им маршрутом. Очевидно, що кількість стрічок цієї матриці рівна кількості споживачів, а кількість стовпчиків – кількості видів продукції.

Наприклад, матриця

маршруту з номером чотири означає, що перший споживач цим маршрутом нафтопродукцією не забезпечується, разом із тим другому споживачу необхідно доставити 50 одиниць четвертого продукту, третьому – 30 одиниць другого продукту та 60 одиниць п’ятого продукту, а четвертому споживачеві – 70 одиниць першого та 40 одиниць четвертого нафтопродукту (у прикладі приймаємо, що існує п’ять видів нафтопродуктів та чотири споживача).

Вектор для цього ж маршруту може мати вигляд

,

тобто четвертий маршрут проходить через другу, третю та п’яту АЗС, причому в наступній послідовності: спочатку до третьої, потім до другої і насамкінець до п’ятої.

Потреби споживачів доцільно задати матрицею такої ж структури, як і описана матриця маршрутів , тобто елемент матриці означатиме потребу j-ого споживача в продукті k-ого виду.

Наприклад, матриця

означає, що перший споживач потребує 200 одиниць першого нафтопродукту та 100 одиниць третього нафтопродукту, другий споживач – 250 одиниць першого, 700 одиниць другого та 300 одиниць п’ятого нафтопродукту і так далі (очевидно, що тут немає потреби вказувати якими маршрутами ці потреби будуть забезпечуватись).

Для побудови цільової функції моделі, економічний зміст якої полягатиме у мінімізації сумарних транспортних витрат, необхідно обчислити величини – витрати на доставку одиниці продукції k-ого виду l-им маршрутом до j-ого споживача. При цьому може скластися враження, що тут не враховується вид транспортного засобу, яким буде доставлено цей нафтопродукт. Проте згадавши, що кожен маршрут може бути виконаний тільки одним транспортним засобом, можна зробити висновок, що між номером маршруту та видом транспортного засобу існує однозначна відповідність.

Економіко-математична модель задачі у наведених позначеннях може бути записана в наступному вигляді:

(1)

(2)

, (3)

де (4)

Належить зауважити, що обмеження (2) записане в матричній формі і містить нерівностей. Обмеження (3) означає, що кожен транспортний засіб може бути призначений тільки на один з допустимих для нього маршрутів.

Таким чином отримуємо досить велику за кількістю змінних дискретну задачу лінійного програмування, вирішення якої не складає теоретичних труднощів, проте при практичній реалізації виникають немалі технічні проблеми, оскільки загальна кількість допустимих маршрутів, а відповідно і змінних, дуже швидко зростає із зростанням кількості марок нафтопродуктів, споживачів та парку транспортних засобів.