Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
К.пед.н. Башкирова И.В., к.ф.-м.н.
Карнишин С.Г.
Пермский военный институт внутренних войск МВД России
(ПВИ ВВ МВД России), Россия
Об устойчивости
уравнения с последействием
с периодическими
параметрами
Для периодического
уравнения с последействием рассматривается вопрос о связи экспоненциальной оценки матрицы Коши и разрешимостью периодических
краевых задач.
Рассмотрим уравнение
третьего порядка с последействием
(1)
при условии однозначной разрешимости
задачи Коши и периодичности параметров уравнения:
;
где - первая неподвижная
точка функции
.
Известно следующее утверждение
о существовании экспоненциальной оценки матрицы Коши и фундаментальной
матрицы
уравнения (1).
Теорема 1. Если спектральный радиус матрицы монодромии меньше единицы, то
существуют
:
(2)
Собственные значения матрицы монодромии
, то есть корни характеристического уравнения (так
называемого уравнения Флоке-Ляпунова)
(здесь
- единичная матрица),
называются мультипликаторами уравнения (1).
Известно, что каждому
мультипликатору уравнения (1)
соответствует нетривиальное решение (1), удовлетворяющее условию
. Причём это решение имеет представление
, если
, где
.
Введём в рассмотрение
следующую вспомогательную краевую задачу:
(3)
Имеет место следующее
утверждение.
Теорема 2. Задача (3) имеет единственное решение тогда и только тогда,
когда число не является
мультипликатором уравнения (1) [1].
Будем говорить, что выполняется
условие , если для любого
краевая задача
(4)
однозначно разрешима.
Лемма 1. Если выполняется условие , то уравнение (1) не имеет отрицательных мультипликаторов.
Введём в рассмотрение ещё
два условия:
: для любого
и для любого
существует функция
Грина задачи
(5)
: для любого
существует функция
Грина
задачи
(6)
Лемма 2. Для того чтобы положительное число не являлось мультипликатором
уравнения (1), необходимо, а при выполнении условий
и
достаточно, чтобы существовала
функция
:
1.
;
2.
- абсолютно непрерывна
на
;
3.
, где
на
.
Обозначим далее и построим следующий
многочлен:
(7)
Легко видеть, что если
хотя бы один из коэффициентов не равен нулю (тождественно),
то многочлен (7) имеет единственный положительный корень
. При этом
, если
, если
, где
- положительный корень
многочлена (7).
Теорема 3. Пусть уравнение (1) имеет положительные мультипликаторы, - положительный корень
многочлена
. Для того, чтобы действительные мультипликаторы уравнения
(1) удовлетворяли неравенству
, необходимо, а при выполнении условий
и (V3) достаточно, чтобы для каждого
существовала функция
такая, что
1.
2.
- абсолютно непрерывна
на
;
3.
для
любого функция
удовлетворяет неравенству
, причём
на
.
Следствие. Пусть
выполнены условия и
. Если
при всех и пусть выполнено
для любого фиксированного
, то действительные мультипликаторы уравнения (1) удовлетворяют
неравенству
.
Будем говорить, что
выполнено условие, если почти
для всех
в промежутке
любое нетривиальное
решение уравнения (1) имеет не более двух нулей [2].
Лемма 3. Если и на
выполнено
условие, то имеет место
неравенство:
,
где - вронскиан уравнения
(1).
Следствие. Если , то
.
Теорема 4. Пусть выполнены условия ,
и
. Кроме того, пусть
1)
для
каждого существует
-периодическая функция
с абсолютно
непрерывной второй производной такая, что при каждом
функция
удовлетворяет
неравенству
на
;
2)
для
каждого , где
существует
-периодическая функция
с абсолютно
непрерывной второй производной такая, что при каждом
функция
на
;
Тогда
для матрицы Коши уравнения (1) имеет место экспоненциальная оценка (2).
Следствие.
Если выполнены условия ,
и
, то
1)
при всех
;
2)
при всех
причём для любого
фиксированного
и
.
Литература:
1. Башкиров А.И. Оценка мультипликаторов
периодического дифференциального уравнения. Перм. политех. ин-т. Пермь, 1985.
12с., Деп. в ВИНИТИ 01.08.85, №5752.
2. Лабовский С.М. Условие необрашения в нуль вронскиана фундаментальной
системы решений линейного дифференциального уравнения с запаздывающим
аргументом// Дифференц. уравнения. 1974. №3.