Математика/Теория вероятностей и математическая статистика

Статников И.Н., Фирсов Г.И.

Институт машиноведения им. А.А.Благонравова РАН

АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ПЛП-ПОИСКА

Стандартная процедура образования нормально распределенных чисел h_i с заданным математическим ожиданием М(h) и дисперсией D(h) = s²(h) состоит в реализации линейного преобразования типа

h_i = Ax_i + B, (1)

где x_i — нормально распределенное число с М(x) = 0 и s²(x) = 1. Тогда, применяя к формуле (1) операции взятия математического ожидания и дисперсии, получим

М(h) = B, s²(h) = A². (2)

Таким образом, точность вычислений по формулам (1) и (2) обусловлена точностью характеристик чисел

Широкое распространение для формирования чисел x_i имеет следующий алгоритм [1]:

(3)

где q_j Î (0; 1) — равномерно распределенное по вероятности псевдослучайное число со следующими характеристиками [2]:

М(q) = 1/2, s²(q) = 1/12. (4)

Очевидно, что теоретические значения x_i случайных чисел, выработанных по формуле (3), с учетом (4) будут 0 и 1 независимо от числа n.

Однако, поскольку в реальных расчетах приходится иметь дело с выборками из конечного числа N элементов x_i, значения x_i при достаточно больших N заменяются их приближенными оценками:

(5)

Рассматривается метод построения нормально распределенных чисел x_i, у которых выполняется точно равенство

(6)

и при этом не ухудшаются значения s²(x). Метод основан на использовании свойств ПЛП-поиска [3]. Покажем, что, применяя ПЛП-поиск для выработки чисел x_i по формуле (3), получаем и, значит,

Для доказательства воспользуемся формулой (3), в которой числа q_j - это псевдослучайные числа ЛП_t-последовательности [2]. Данный датчик псевдослучайных чисел обладает свойством равномерности в смысле распределения r-мерных точек по ортантам r-мерного гиперкуба, отсутствием корреляции между составляющими r-мерного вектора Q = (q₁, q₂, …, q_r), и, наконец, тем, что оба свойства сохраняются в пространстве большой размерности (). В данном датчике действует следующий алгоритм расчета чисел q_ij (i = 1,..., N; j = 1,..., r), где i - номер j-мерной точки Q = (q_i1, …, q_ir); j - номер координаты этой точки. Номер точки i записывается в двоичной форме следующим образом: e₁e₂...e_m, где m - максимальное число двоичных разрядов, а само e_s (s = 1, 2, ..., m) есть 0 или 1. В этом случае q_ij = V₁ * V₂ * V₃ * ... * V_m, где * - операция поразрядного сравнения по mod 2; V_s - направляющий числитель из таблицы направляющих числителей, приведенной, в частности, в работах [2, 3]. Если e_s = 0, то V_s = 0, если e_s = 1, то V_s принимает соответствующее значение, стоящее на пересечении s-го столбца и j-той строки в таблице направляющих числителей.

Запишем выражение для

(7)

В алгоритме ПЛП-поиска всегда берется N₁ = 2ⁿ, а N₂ = 2ⁿ⁺¹ - 1, где n = 1, 2, 3,... Подсчитаем сумму Sq_ij по индексу i. Получим

(8)

где N = N₂ - N₁ + 1 = 2ⁿ - число членов выборки. С учетом (8) выражение (7) приобретает следующий вид:

(9)

что и требовалось доказать.

Нормальность чисел x_i, формируемых по предлагаемому алгоритму, проверялась по критерию c². Для этого генерировались по формуле (3) с помощью чисел q_ij последовательности N нормальных чисел x_i. При этом число серий Т оставалось неизменным (Т = 16), а число М_j n-мерных точек g_ij бралось разным (М_j = 8; 16; 32; соответственно число N = TМ_j). Варьировалось также число n. Результаты расчетов представлены в табл. 1, где на пересечении столбца и строки стоит дробь, в числителе который — расчетное значение c², в знаменателе - теоретическое [4] значение при выбранном уровне значимости р и получившемся числе степеней свободы m, которое проставлено справа от дроби. В данном эксперименте был выбран уровень значимости р = 0,01, т. е. проверялась следующая нулевая гипотеза: если то предположение о нормальности чисел x_i можно считать оправданным, и наоборот. Как видно из табл. 1, нулевая гипотеза оправдывается уже при малых N и даже при n = 3.

Качество нормальных чисел (среднее x_ср, дисперсия s_в, асимметрия А, эксцесс E) проверялось экспериментально на ЭВМ. Для сравнения те же характеристики вычислялись для нормальных чисел x_i, также полученных по формуле (3), но при этом номера чисел j брались фиксированными в отличие от ПЛП-поиска. При экспериментах по одному и другому способу исследовалось по 12 выборок в N членов, где N = 2⁶, 2⁷, 2⁸ и 2⁹ чисел x_i.

Таблица 1

N	n
	3	6	12
128
256

Таблица 2

N					sA		sE
	n = 3	1,0132	0,0475	- 0,1100	0,1980	- 0,2792	0,2887
64	n = 6	1,0016	0,0787	- 0,1716	0,2648	- 0,1774	0,6026
	n = 12	1,0430	0,1120	- 0,0510	0,3586	0,2420	0,7338
	n = 3	1,0042	0,0417	0,0496	0,1632	- 0,4788	0,2164
128	n = 6	1,0334	0,0642	- 0,0044	0,1610	- 0,3304	0,2523
	n = 12	0,9971	0,0558	0,0151	0,2065	- 0,0204	0,3438
	n = 3	0,9904	0,0166	0,0592	0,1251	- 0,4225	0,1134
256	n = 6	0,9853	0,0501	0,0622	0,1055	- 0,1971	0,2367
	n = 12	0,9974	0,0572	0,0464	0,1064	- 0,0891	0,3422
	n = 3	0,9984	0,0047	0,0300	0,0307	- 0,3966	0,0836
512	n = 6	1,0030	0,0391	0,0385	0,0776	- 0,2640	0,1811
	n = 12	1,0024	0,0547	0,0019	0,1026	- 0,0886	0,1808

Таблица 3

N
	I	0,4512	0,0401	0,8980	0,0097
64	II	0,0011	0,0146	0,9630	0,1021
	III	0,0006	0,0226	0,9922	0,0459
	I	0,4180	0,0267	0,9319	0,0112
128	II	- 0,0015	0,0101	0,9520	0,0660
	III	- 0,0050	0,0084	0,9864	0,0409
	I	0,2897	0,0049	0,9559	0,0047
256	II	- 0,0040	0,0069	0,9884	0,0764
	III	0,0013	0,0076	0,9787	0,0217
	I	0,2560	0,0049	0,9253	0,0011
512	II	- 0,0005	0,0055	1,0080	0,0352
	III	0,0012	0,0033	1,0029	0,0262
N			sA		sE
	I	- 0,1640	0,0630	0,9600	0,1395
64	II	- 0,0304	0,3366	0,1455	0,6243
	III	- 0,0553	- 0,2766	0,0085	0,4014
	I	- 0,2370	0,0420	0,7165	0,0845
128	II	- 0,0121	0,02390	0,1086	0,3951
	III	- 0,0932	0,1247	- 0,0294	0,3025
	I	0,0100	0,0230	0,4130	0,0158
256	II	- 0,0702	0,1500	0,0388	0,3194
	III	- 0,0747	0,0898	- 0,0575	0,1766
	I	- 0,0540	0,0061	0,5998	0,0209
512	II	- 0,1225	0,0927	- 0,1012	0,1087
	III	0,0602	0,1214	- 0,1777	0,0906

Для всех 12 выборок при каждом N подсчитывались свои интегральные характеристики по обычным формулам:

(10)

где Т = 12. Для оценок (10) также подсчитывались и эмпирические значения их дисперсий. Результаты численных экспериментов при расчете чисел x_i с использованием ПЛП-поиска приведены в табл. 2, а в табл. 3 - результаты экспериментов для случая фиксированных комбинаций номеров j (I - j = 1, 2,..., 12; II - j = 25, 26,..., 37; III - j=38, 39,..., 49; при этом в формуле (3) всюду бралось n = 12).

Сопоставление одноименных выборочных характеристик в табл. 2 и 3 показывает, что особого преимущества, за исключением значений x_ср, у каждого из двух способов формирования нормально распределенных чисел нет. В обоих случаях с ростом N наблюдается сходимость выборочных оценок дисперсий причем в табл. 2 эта сходимость наблюдается и для n = 3. Сходимость выборочных значений асимметрии А к нулю несколько выше в табл. 2, чем в табл. 3. Сходимость выборочных значений эксцесса Е с ростом N в обеих таблицах примерно одинакова.

Следует отметить, что по времени реализации предлагаемый способ формирования чисел x_i, конечно, уступает многим другим, например способу простого суммирования. Однако он может оказаться достаточно эффективным в задачах моделирования динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений. Так, при исследовании механических колебательных систем методом ПЛП-поиска, описанном в работе [5], имитация различных вариантов в пространстве параметров может осуществляться с помощью датчиков ПЛП-поиска, а формирование случайных возмущающих воздействий может быть поручено описанному алгоритму, поскольку в основе и метода ПЛП-поиска, и способа создания нормальных чисел лежит один и тот же датчик псевдослучайных чисел, программа которого для пакета MATLAB приведена в работе [6]. В качестве примера возможного эффективного использования такого комбинированного подхода можно привести задачу оценки информативности различных параметров динамической системы для ее диагностики [7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971. - 356 с.

2. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. - 288 с.

3. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск и его реализация в среде MATLAB // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. - М.: ИПУ РАН, 2004. - С.398-411.

4. Колкот Э. Проверка значимости. М.: Статистика, 1978. - 242 с.

5. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Проектирование динамических систем и их информационное обеспечение // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности и экологии. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С.22-27.

6. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Об одной технологии дискретного зондирования пространства исследуемых параметров // Современные информационные технологии. - Пенза: Пензенская гос. технол. академия, 2004. - С.63-68.

7. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Методология планируемого вычислительного эксперимента в задачах обеспечения вибрационной надежности машин на различных стадиях жизненного цикла // ИПИ (CALS)-2003. Информационные технологии в управлении жизненным циклом изделий. - СПб.: Центр печати «СеверРосс», 2003. - С.22-24.