Технические науки / Отраслевое машиностроение.

канд. техн. наук КЛИМЕНКО В. В.

Інститут регіонального управління і економіки (м. Кіровоград)

СКРИПНИК О. В.

канд. фізмат. наук ГОНЧАРОВА С. Я.

канд. техн. наук ПУКАЛОВ В. В.

Кіровоградський національний технічний університет

 

ЧИСЕЛЬНИЙ МЕТОД ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСУ ЗАТВЕРДІВАННЯ ЛЬОДОГАЗГІДРАТНИХ КАПСУЛ ДІОКСИДА ВУГЛЕЦЮ

 

Діоксид вуглецю досить широко застосовується в агропромисловому виробництві для газування напоїв і шампанського, насичення свіже віджатих соків плодів і овочів і їхнього зберігання під тиском [1], при зварюванні металу в атмосфері СО2, у ливарному виробництві при сушці стержнів і ливарних форм, що дозволяє скоротити тривалість процесу формування приблизно в 20 разів [2]. Доставка діоксиду вуглецю до місця споживання звичайно здійснюється в посудинах, у яких підтримується або низька температура (мінус 50...70 °С), або досить високий тиск (70…100 Бар). Ці обставини ускладнюють широке використання СО2, особливо при несерійному виробництві. Відомо, що СО2 при певних термодинамічних параметрах утворює газові гідрати – тверді кристалічні сполуки клатратного типу, що складаються з молекул СО2 і води [3]. Розроблювана нами технологія виробництва капсул газових гідратів діоксиду вуглецю дозволяє одержувати, зберігати і транспортувати при атмосферному тиску і близьких коло нуля температурах СО2 у газгідратному стані. При нагріванні капсул будь-яким джерелом тепла з температурою вище 0 °С, газові гідрати розкладаються, і діоксид вуглецю виділяється в газоподібному або рідкому стані залежно від тиску процесу. Закономірності процесу утворення льодогазгідратних капсул діоксиду вуглецю, мають теоретичне й практичне значення.

Пропонується математична модель і алгоритм розрахунку процесу охолодження й затвердівання циліндричної льодогазгідратної капсули діоксиду вуглецю нескінченної довжини при граничних умовах третього роду з урахуванням нелінійної умови Стефана.

Математична модель процесу охолодження і затвердіння льодогазгідратних капсул СО2 має такий вигляд:

; ,         (1)

; ,           (2)

,                     (3)

,                                       (4)

,                                                               (5)

,                                                               (6)

,                                                                 (7)

,                                               (8)

 

де індекси 1, 2 відносяться відповідно до рідкої фази (суспензії), яка включає воду та газовий гідрат і твердої фази, яка включає лід та газовий гідрат; T, t, – відповідно, температура, час; l – радіус зовнішньої поверхні циліндра; a – коефіцієнт температуропровідності; Тцен, Ткр, Тср – відповідно, початкова температура рідкої фази, температура кристалізації, температура зовнішнього середовища; х(t) - змінювана координата положення фронту кристалізації:  – ефективний коефіцієнт тепловіддачі;  - відповідно, внутрішній і зовнішній діаметри капсулоутворюючого приладу;  - коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки;  - питома теплота кристалізації суміші ²вода + газовий гідрат СО2²;  - питома теплота кристалізації води;  - відносна масова доля газових гідратів СО2 в капсулі.

При розробці моделі прийняті наступні допущення:

1) Ткр залежить від тиску, зв'язок тиску й температури затвердіння визначається залежністю Бриджмента [4]; 2) внаслідок незначного перепаду температур рідкої фази  і кристалізації  передача теплоти в середовищі рідкої фази відбувається тільки теплопровідністю; 3) теплофізичні властивості рідкої (суспензії) і твердої фаз – теплопровідність , теплоємність , густина не залежать від температури; 4) теплова вісь циліндра збігається з його геометричною віссю, внаслідок чого задача, що розглядається, відноситься до осесиметричних, з умовою симетричного охолодження; 5) внаслідок того, що льодогазгідратна капсула СО2 – нескінченний циліндр, задача перетворюється в одномірну; 6) фронт кристалізації - це пряма, що паралельна осі симетрії циліндра.

При наявності нелінійної умови Стефана ця крайова задача точного аналітичного розв’язку не має, а наближені аналітичні методи розв’язку дають велику похибку, у зв’язку з чим розраховуємо її чисельним методом сіток по неявній різницевій схемі з ітераційним процесом - уловлювання фазового фронту в заданий вузол. Для розрахунку температури на всіх тимчасових шарах, крім першого, використаємо метод прогону відповідно до якого, температура в будь-якому вузлі сітки дорівнює:

,                      (9)

де  A(I), B(I) – невизначені коефіцієнти прогону.

У розглянутій крайовій задачі охолодження й затвердівання льодогазгідратної капсули діоксиду вуглецю відбувається при граничних умовах третього роду. Практика розрахунків і теоретичні дослідження показали, що для збільшення точності розрахунків граничні умови третього роду необхідно апроксимувати з урахуванням ряду особливостей [5]. Важливим є питання про величину початкового наближення кроку за часом . Значення  розраховується по формулі Планка:

,                                         (10)

де  L – питома теплота кристалізації; r – густина; k – коефіцієнт форми, для циліндра k = 2; J – параметр ітераційного процесу; n – номер кроку руху фронту кристалізації.

Виконавши відповідні перетворення, отримаємо:

,                                       (11)

Ітераційний процес на кожному кроці просування фронту кристалізації проходить виходячи з умови рівності теплових потоків на границі розділу фаз, що описується виразом Стефана. Після того, як знайдено початковий крок за часом, відбувається його уточнення доти, поки умова (3) не буде виконуватися із заданою точністю. Із цією метою використаються наступна ітераційна формула:

,             (12)

Даний алгоритм реалізований мовою програмування QBASIC. Розрахунки виконувались для льодогазгідратних капсул діаметром 30 мм, які вміщують у початковому стані різну масову частку газових гідратів. Теплофізичні властивості води, льоду, газового гідрату СО2 а також дисперсного середовища - ²вода + газовий гідрат², ²лід + газовий гідрат² прийняті чи розраховані нами по даним [6, 7]. Товщина металевої стінки капсулоутворюючого приладу рівна . Коефіцієнт тепловіддачі  змінювався в межах , а температура охолоджуючої рідини  змінювалась в діапазоні . Для зручності застосування отримані результати приведені в безрозмірному вигляді як залежність критерію Фур'є від критерію Біо й  (рис. 1). Звертає на себе увагу той факт, що збільшення критерію  більше 6 і зниження  істотно не впливає на інтенсифікацію процесу.

Рис. 1  Залежність критерія Fo від критерія Bi при заморожуванні суспензії Н2О + газгідрат СО2, Т = 253 К

 

Література:

1 Шобингер У. Плодово-ягодные и овощные соки. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. – 472с.

2 Пименова Е. Ф. Производство и применение сухого льда, жидкого и газообразного диоксида углерода. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. – 208с.

3 Бык С. Ш., Макогон Ю. Ф., Фомина В. И. Газовые гидраты. - Химия, 1980. – 296с.

4 Пехович А. И. Основы гидроледотермики. – Л.: Энергоатомиздат, 1983. – 200с.

5 Куцакова В.Е., Уткин Ю.В., Фролов С.В., Третьяков Н.А. Расчет времени замораживания бесконечного цилиндра и шара с учетом одновременного охлаждения замороженной части // Холодильная техника, 1996, N 2. - С 21 - 23.

6 Богданов С. П., Иванов О. П., Куприянов В. В. Свойства рабочих веществ, теплоносителей и материалов, используемых в холодильной технике. - Л.: ЛГУ, 1972. - 147с.

7 Гройсман А. Г. Теплофизические свойства газових гидратов. – Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1985. – 94с.