Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К. физ.-мат. н. Сумера С.С., к. физ.-мат. н. Вислова Е.В., Лозовский В.А.

Воронежский государственный технический университет

Вторая смешанная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами

Рассмотрим начальную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами

(1)

. (2)

Здесь , , − искомая функция, , , − случайные процессы, − случайное поле, независимое с и [1]. Предполагается, что случайные процессы и независимы и заданы характеристическими функционалами [2], т.е. известно

,

,

где M − знак математического ожидания по функции распределения процессов и , , , , − элементы пространства суммируемых на отрезке T функций, − элемент пространства функций суммируемых на множестве .

Пусть a и b заданные числа. Обозначим через функцию, определяемую по следующему правилу: при , лежащем в отрезке с концами a и b, и в противном случае. Пусть обозначает преобразование Фурье по переменному , аналогичное обозначение используется для обратного преобразования Фурье, − обозначает свертку по переменному [3]. Определим через отображение, применяемое по переменному , следующим образом

.

Введем в рассмотрение вспомогательное отображение

,

где

(3)

и математическое ожидание вычисляется по функции распределения случайных процессов , и .

Умножим (1), (2) на (3) и вычислим математическое ожидание по функции распределения случайных процессов от найденных выражений. Если существуют соответствующие производные отображения , то (1), (2) можно записать в виде

, (4)

, (5)

Здесь означает вариационную производную функционала по переменному [2].

Определение. Второй смешанной функцией решения задачи (1), (2) будем называть выражение

,

где − это решение задачи (4), (5).

Теорема 1. Пусть функция суммируема на , функция суммируема на , пусть существует некоторая окрестность нуля в такая, что существуют непрерывные вариационные производные по при функционала , тогда решение задачи (4), (5) находится по формуле

+

+,

где − это дельта-функция [3].

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существуют непрерывные по при вариационные производные

,

тогда вторая смешанная функция решения задачи (1), (2) находится по формуле

.

Литература

1. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход − М.: Наука, 1977. − 568 с.

2. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний − М. Ижевск НИЦ РХД, 2006. − 316 с.

3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике / В.С. Владимиров. − М.: Наука, 1976. − 280 с.

4. Сумера С.С. Уравнения диффузии со случайными коэффициентами. Нахождение статистических характеристик / С.С. Сумера, В.Г. Задорожний − LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co.KG , 2011 − 108 с.