Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
К. физ.-мат.
н. Сумера С.С., к. физ.-мат. н. Вислова Е.В., Лозовский В.А.
Воронежский
государственный технический университет
Вторая смешанная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами
Рассмотрим начальную задачу для линейного
дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами
(1)
. (2)
Здесь ,
,
− искомая
функция,
,
,
− случайные процессы,
− случайное
поле, независимое с
и
[1]. Предполагается, что случайные процессы
и
независимы и заданы
характеристическими функционалами [2], т.е. известно
,
,
где M − знак
математического ожидания по функции распределения процессов и
,
,
,
,
− элементы
пространства суммируемых на отрезке T
функций,
− элемент
пространства функций суммируемых на множестве
.
Пусть a и
b заданные числа. Обозначим через функцию, определяемую
по следующему правилу:
при
, лежащем в отрезке с концами a и b, и
в противном случае.
Пусть
обозначает
преобразование Фурье по переменному
, аналогичное обозначение используется для обратного
преобразования Фурье,
− обозначает свертку по переменному
[3]. Определим через
отображение, применяемое
по переменному
, следующим образом
.
Введем в рассмотрение вспомогательное
отображение
,
где
(3)
и математическое ожидание
вычисляется по функции распределения случайных процессов ,
и
.
Умножим (1), (2) на (3) и вычислим
математическое ожидание по функции распределения случайных процессов от
найденных выражений. Если существуют соответствующие производные отображения , то (1), (2) можно записать в виде
, (4)
, (5)
Здесь означает вариационную
производную функционала
по переменному
[2].
Определение.
Второй смешанной функцией решения
задачи (1), (2) будем называть выражение
,
где − это решение
задачи (4), (5).
Теорема
1. Пусть функция суммируема на
, функция
суммируема на
, пусть существует некоторая окрестность нуля в
такая, что существуют
непрерывные вариационные производные по
при
функционала
, тогда решение задачи (4), (5) находится по формуле
+
+,
где − это дельта-функция
[3].
Теорема
2. Пусть
выполнены условия теоремы 1 и существуют непрерывные по при
вариационные
производные
,
тогда вторая
смешанная функция решения задачи (1),
(2) находится по формуле
.
Литература
1. Гихман И.И. Введение в теорию случайных
процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход − М.: Наука, 1977. − 568 с.
2. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа /
В.Г. Задорожний − М. Ижевск НИЦ РХД, 2006.
− 316 с.
3. Владимиров В.С. Обобщенные
функции в математической физике / В.С. Владимиров. − М.: Наука, 1976.
− 280 с.
4. Сумера С.С. Уравнения диффузии
со случайными коэффициентами. Нахождение статистических характеристик / С.С.
Сумера, В.Г. Задорожний − LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co.KG ,
2011 − 108 с.