Шилинец В.А., Борис Т.И., Подполухо Е.В.

Белорусский государственный педагогический университет

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ БИКВАТЕРНИОННЫХ F-МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В работе [1] предлагается подход, позволяющий задачи классической механики описать в терминах функций со значениями в гиперкомплексных числах. Оказывается, можно построить бикватернионную модель движения тела вблизи поверхности земли и сформулировать задачу Кеплера на языке дифференциальных уравнений для функций со значениями в кватернионах. Кроме того, задача о движении твердого тела может быть описана в терминах функций со значениями в бикватернионах. Так винтовое перемещение твердого тела можно представить как решение дифференциального уравнения , где – бикватернион, – дуальная переменная, – функция дуальной переменной со значениями в бикватернионах.

Как известно [1], бикватернионами (обобщением кватернионов) называют элементы множества , где , , – дуальные числа. Правило умножения бикватернионов задается правилом умножения мнимых единиц: , , , , , , .

В данной работе для F-моногенных бикватернионных функций, заданных в некоторой односвязной области , строится обобщенная интегральная формула Коши.

Нам понадобятся следующие определения.

Определение 1. Бикватернионной функцией, заданной в области , будем называть функцию вида , где ( – индекс, ) – дуальные функции, заданные в области ; – известный базис кватернионной алгебры.

Далее полагаем, что , т.е. .

Определение 2. Бикватернионная функция называется моногенной в смысле В.С. Федорова (F-моногенной) [2] по бикватернионной функции (, () – действительные числа, , ) в области , если в этой области найдется такая бикватернионная функция , что

, , , (1)

(

и т.д.).

Обозначим функцию через . Тогда равенства (1) можно записать в виде , , , .

Пусть – четырехмерная ограниченная область с границей (,). Полагаем далее, что и функция ,
F-моногенная по , определены на замкнутой трехмерной поверхности , гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой для возможности использовать формулу Остроградского. Для бикватернионной функции и произвольной точки полагаем [3]:

,

где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности в её текущей точке ,

.

Пусть – произвольная данная точка области , .

Теорема 1. Для любой бикватернионной функции , F-моногенной по бикватернионной функции в области , имеем .

Теорема 2. Если бикватернионная функция является F-моногенной по бикватернионной функции в области , то для любой точки , лежащей внутри , имеем

(2)

Обобщенная интегральная формула Коши (2) позволяет решить следующую краевую задачу.

Задача. Пусть – четырехмерная ограниченная область с границей (,). Полагаем далее, что бикватернионная функция и бикватернионная функция , F-моногенная по , определены на замкнутой трехмерной поверхности , гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой для возможности использовать формулу Остроградского. Требуется найти в любой внутренней точке области значение функции , F-моногенной по , если известны её значения на поверхности .

Литература

1. Радыно Н.Я. О модели описания винтового перемещения твердого тела в терминах бикватернионов // Международная математическая конференция «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям»: тезисы докладов.– Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2010. – С. 135.

2. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. –№6. – С. 257–265.

3. Фёдоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов. Математика, 1957. –№1. –С.227–233.