Шилинец В.А., Борис Т.И., Подполухо Е.В.
Белорусский государственный педагогический университет
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ БИКВАТЕРНИОННЫХ F-МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В работе [1] предлагается
подход, позволяющий задачи классической механики описать в терминах функций со
значениями в гиперкомплексных числах. Оказывается, можно построить
бикватернионную модель движения тела вблизи поверхности земли и сформулировать
задачу Кеплера на языке дифференциальных уравнений для функций со значениями в
кватернионах. Кроме того, задача о движении твердого тела может быть описана в
терминах функций со значениями в бикватернионах. Так винтовое перемещение
твердого тела можно представить как решение дифференциального уравнения , где
– бикватернион,
– дуальная
переменная,
– функция дуальной
переменной со значениями в бикватернионах.
Как известно
[1], бикватернионами (обобщением кватернионов)
называют элементы множества , где
,
,
– дуальные числа.
Правило умножения бикватернионов задается правилом умножения мнимых единиц:
,
,
,
,
,
,
.
В данной
работе для F-моногенных бикватернионных функций, заданных в некоторой
односвязной области , строится обобщенная интегральная формула Коши.
Нам
понадобятся следующие определения.
Определение
1. Бикватернионной функцией, заданной в области , будем называть функцию вида
, где
(
– индекс,
) – дуальные функции, заданные в области
;
– известный базис
кватернионной алгебры.
Далее
полагаем, что , т.е.
.
Определение
2. Бикватернионная функция называется моногенной
в смысле В.С. Федорова (F-моногенной) [2] по
бикватернионной функции
(
,
(
) – действительные числа,
,
) в области
, если в этой области найдется такая бикватернионная функция
, что
,
,
,
(1)
(
и т.д.).
Обозначим
функцию через
. Тогда равенства (1) можно записать в виде
,
,
,
.
Пусть – четырехмерная ограниченная
область с границей
(
,
). Полагаем далее, что
и функция
,
F-моногенная по , определены на замкнутой трехмерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой
для возможности использовать формулу Остроградского. Для бикватернионной
функции
и произвольной точки
полагаем [3]:
,
где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности
в её текущей точке
,
.
Пусть – произвольная данная точка области
,
.
Теорема
1. Для любой бикватернионной функции , F-моногенной
по бикватернионной функции
в области
, имеем
.
Теорема 2. Если бикватернионная функция является F-моногенной
по бикватернионной функции
в области
, то для любой точки
, лежащей внутри
, имеем
(2)
Обобщенная
интегральная формула Коши (2) позволяет решить следующую краевую задачу.
Задача. Пусть – четырехмерная ограниченная
область с границей
(
,
). Полагаем далее, что бикватернионная функция
и бикватернионная
функция
, F-моногенная по
, определены на замкнутой трехмерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой
для возможности использовать формулу Остроградского. Требуется найти в любой
внутренней точке области
значение функции
, F-моногенной по
, если известны её значения на поверхности
.
Литература
1.
Радыно Н.Я.
О модели описания винтового перемещения твердого тела в терминах бикватернионов
// Международная математическая конференция «Пятые Богдановские чтения по
обыкновенным дифференциальным уравнениям»: тезисы докладов.– Мн.: Институт
математики НАН Беларуси, 2010. – С. 135.
2.
Фёдоров В.С. Основные
свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. –№6. – С.
257–265.
3.
Фёдоров В.С. Об одном
обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов.
Математика, 1957. –№1. –С.227–233.