Математика/1. Дифференциальные

интегральные уравнения

к.ф.-м.н. Ысмагул Р.С

Костанайский государственный университет , Казахстан

Применение метода укорочения в теории счётных

систем интегродифференциальных уравнений в частных производных

В этой статье рассмотрено решение счетной системы, построенное методом укорочения. Установлены необходимые и достаточные условия существования единственности почти многопериодического решения интегродифференциальных уравнений в частных производных.

Метод укорочения представляет собой предельный переход в реше-ниях конечной системы, получающейся из данной бесконечной отбрасы-ванием всех уравнений и неизвестных, начиная с некоторого номера.

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

, (1)

где x, Q, R– n векторы-столбцы; P(t,φ) – матрица размерности n×n,

φ = ( φ₁, …, φ_т, …) – счетномерный вектор, , >0 – малые параметры.

Для почти многопериодической вектор - функций b (t, φ) с η – вектор – почти периодом используем обозначение

||D_t,_qb||=sup_{Ry, Rx} ||b(t+Ʈ, φ + θ)-b(t, φ)||.

Дифференциальный оператор называется линеаризованным. Строится его характеристическая функция l_ò,(s,t,φ), которая допускает интегральное представление в виде

l_ò,(s,t,φ) = φ + [s₁,l_ò (s₁t, φ),ƒ(s₁, l_ò , (s₁,t, φ)),μ]ds₁.

Для сокращения записи введем r(t, φ,μ)=a[t, φ,ƒ(t,) φ,μ].

Обозначим через (t₀,t,j)-матрицант линеаризованного уравнения

D^òx=P(t, φ)x. (2)

Будем говорить ,что выполнены условия (π₂^∞),если

1) вектор – функция Q(t ,φ, x, μ) ограничена и равномерно непрерывна по всем переменным, обладает ограниченными и равномерно непрерывными частными производными по φ, х, удовлетворяющие условию Липшица по х , относительно t,φ принадлежит π- классу

2) вектор-функция М [t’, t, j, x(t’,j)] диагонально - почти периодична по t’,t, почти многопериодична по φ с η - вектор – почти периодом , принадлежит π-классу,относительно φ, х обладает ограниченными и равномерно непрерывными частными производными первого порядка, удовлетворяющие условию Липшица по х из R_D ;

3) непрерывная функция Ψ(s) такова , что существует несобственный интервал

ds ≤ K < ∞ , где К > 0 – постоянное число

Как и прежде , H_n(D,b_m) означает класс n – мерных почти многопериодических π – функций ƒ(t,φ) с η – вектор – почти периодом (τ,θ).

Будем считать , что в определении класса H_n (D,b_m) последовательность b_m выбрана так b_m= sup {d_m,p_m,b_m,x_m} для каждого m.

Теорема Если линеаризованная система (2) некритическая относительно класса H_n(D,b_m) и выполнены условия (p ),(p )для системы (1), то при a₀L≤1, система (1) имеет единственное почти многопериодическое решение , обращающееся при μ=0 в нуль – вектор.

Для доказательства вводится отображения Т: ƒ→ Ф_ƒ по формуле F_ƒ(t,φ)= T(ƒ)=μ (s,t,φ)*

{Q[s, l_ƒ , ƒ (s, l_ƒ ,), m]+ M[t^,,s, l_ƒ, ƒ(t’, l_ƒ)]Y(s-t’)dt’}ds,

где l_ò,(s,t,φ) – характеристическая вектор – функция оператора D^ƒ .

На основе лемм 1.1, 2.1, 3.1 [1] показывается , что существует m^->0 такое , что при a₀L≤1 выполняются неравенства :

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Отсюда следует, что при a₀L≤1 и вектор – функция Ф_ƒ (t, φ) принадлежит π – классу и является почти многопеериодической с η – вектор – почти периодом (η ,θ ). Оператор Т (ƒ) при выполнении условии (p ),(p ) отображает класс H_n(D,b_m) существует единственная неподвижная точка оператора Т(ƒ), которая является почти многопериодическим решением системы (1).

Литература:

1 Исмагулова Р.С. О применении метода укорочения к построению почти многопериодического решения одной системы интегродифференциальных уравнений частных производных // Алма-Ата, 1987, 25 с. Деп. в ВИНИТИ 3.07.87.№5474-В.87 Деп.