Математика/5. Математическое моделирование

Д.ф.-м.н., профессор Ахтямов А.М., к.ф.-м.н. Аюпова А.Р.

Нефтекамский филиал Башкирского государственного университета, Россия

Численные эксперименты по идентификации

местоположения и объема полости в стержне

Диагностика повреждений в элементах конструкций является актуальной с точки зрения обнаружения локальных дефектов. Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования в России, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций.

В настоящее время актуальна виброакустическая диагностика. Идентификации полости в стержнях по собственным частотам их изгибных колебаний посвящено большое количество работ. В большинстве публикаций идентифицируют полости лишь определенных форм. При этом если форма полости неизвестна, то авторы подобных публикаций решают некорректную задачу о приближении этой формы известной [2. В представленной же работе предложены условия сопряжения для стержня, моделирующие полость и ее объем. В этом случае обратная задача местоположения и объема полости оказывается корректной и лучше поддается решению.

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень. Будем считать, что полость может быть произвольной формы. Напряженно-деформированное состояние рассмотрим только в рамках технической теории для балки без учета сложного деформированного состояния в пределах полости. Объем полости считаем намного меньшей объема стержня.

Задача об изгибных колебаниях стержня длины с шарнирно-опертыми концами сводится к следующей спектральной задаче [1]:

(1)

, , , , (2)

где , [кГ/см²] – модуль упругости, [см⁴] – момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, [кг/см³] - плотность стержня, F [см²] - площадь поперечного сечения стержня [c^-1]-частотный параметр.

Переходя в задачах (1) - (2) к безразмерным переменным

, ,

получаем следующую задачу на собственные значения

, (3)

, , , . (4)

Для участков балок с сосредоточенными массами известны условия сопряжения. Под этими условиями имеются в виду взаимосвязи между прогибами слева и справа от балки соответствующего сечения, углами поворота, а также действующими изгибающими моментами и поперечными силами. Эти условия сопряжения для сосредоточенных масс записываются в следующем виде [1]:

, , , (5)

,

где индексы 1 и 2 обозначают прогиб слева и справа, от балки соответствующего сечения, где сосредоточена масса, - изгибная жесткость, - сосредоточенная масса, – координата сечения, где расположена масса.

Предлагаем объем дефекта представлять в виде отрицательной сосредоточенной массы. Тогда условия сопряжения для участков балок с сосредоточенной массой применим и для случая полости. При этом абсолютную величину отрицательной сосредоточенной массы свяжем с объемом полости. Тогда условия (5) для случая полости запишутся

, , , (6)

где и - прогиб слева и справа от балки соответствующего сечения, где находится полость, - изгибная жесткость дефектной балки, - объем полости, – координата сечения, где расположен дефект.

Из формул для перехода к безразмерным переменным следует, что собственные частоты балки с полостью находятся по формуле

, (7)

где собственные значения граничной задачи для уравнения (3) с краевыми условиями (4) и условиями сопряжения (6).

Нетривиальные решения , уравнения (3) левее и правее каждой полости записываются следующим образом

, где (8)

здесь (9)

Подставив (8) в уравнения (4), (6) получим систему уравнений. Нули определителя этой системы и являются собственными значениями краевой задачи (3), (4), (6).

В работе приведены результаты численных исследований, показывающих зависимость первых двух собственных частот от местоположения полости для стержней с различными закреплениями. Описанным выше способом были найдены собственные значения для шарнирно опертого стержня с теми же параметрами, но с различными местоположениями полости. Результаты вычислений были отображены на графиках.

Анализ этих графиков показывает: собственные частоты балки с малой полостью в срединной оси выше собственных частот колебаний бездефектной цельной балки.

С помощью частотного уравнения можно решать не только прямые задачи. При известных собственных значениях или частотах из данного уравнения можно определить другие неизвестные параметры системы. В частности актуальными являются задачи определения размеров и местоположений дефектов системы для своевременного устранения неполадок. В данной работе поставлена и решается обратная задача восстановления объемов и местоположения полости по собственным частотам изгибных колебаний дефектного стержня.

Предложенная модель позволяет выявлять местоположения и объем полости в стержне по собственным частотам изгибных колебаний. Корректность построенных моделей подтверждена численными экспериментами, сравнением полученных результатов с результатами физических экспериментов, согласованностью результатов с известными результатами других авторов. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволит прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Список литературы

1. Бабаков И.М.. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004, 271с.

2. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия. 2005, №9, С. 44–56.

3. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий. – Уфа: Гилем, 2008.- 300 с.