Математика/4. Прикладная математика

Федоренко В.Е., Круговая Е.В., Тарасенко Д.В.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства имени Петра Василенко

О РАВНОВЕЛИКИХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ И СВЯЗЫВАЮЩЕМ ИХ СДВИГЕ

Возьмем два произвольных треугольника ABC и A'B'C' (рис.1)и решим следующих два вопроса.

1. Построить треугольник А₀В₀С₀ подобный треугольнику A'B'C' и равновеликий треугольнику АВС.

2. Привести равновеликие треугольники АВС и А₀В₀С₀ в родственное соответствие, которое для таких треугольников должно быть сдвигом (сдвиг – эквиаффинное преобразование).

Решение первого вопроса.

Заменим заданные треугольники АВС и A'B'C' описанными вокруг них прямоугольниками І и ІІ (рис. 1). Возможность такой замены вытекает из того, что площадь каждого такого прямоугольника в два раза больше площади треугольника.

Расположим прямоугольники І и ІІ в прямоугольной системе осей координат и так как показано на рис. 2. Здесь найдем прямоугольник III, подобный прямоугольнику II и равновеликий прямоугольнику I, описанному вокруг искомого треугольника А₀В₀С₀. Через начало координат О проведем диагональ прямоугольника II. Линия этой диагонали пересечет одну сторону и продолжение второй стороны прямоугольника I в точках E и F. На этой линии получим отрезки m = ОЕ и m = ОF. Отрезок l = ОQ₀ этой линии будет диагональю прямоугольника III. Далее находим l. На отрезке n как на диаметре строим полуокружность, а на конце отрезка m восстанавливаем к n перпендикуляр. Эти линии пересекутся в точке Т. Раствором циркуля из О до этой точки высекаем на линии диагонали отрезок l = ОQ и строим прямоугольник III, для которого l – диагональ.

Докажем, что выполненное построение отрезка l является верным. По рис. 2 видно, что площадь прямоугольника I равна

,

а площадь прямоугольника II равна

По условию

После подстановки и сокращения, получим

Следовательно, отрезок l получается как третье пропорциональное к отрезкам m и n, т.е. так как показано на рис. 2. Построенный прямоугольник III переносим на рис. 1 и вписываем в него искомый треугольник А₀В₀С₀ .

Решение второго вопроса.

Заданный треугольник АВС переносим на свободное поле чертежа (рис. 3) и пристраиваем к его стороне АС два подобных и подобно расположенных треугольника АВ₀С и А₀В₀С₀ , где А₀В₀С₀ – второй заданный треугольник. Между треугольниками АВС и АВ₀С установилось родственное соотношение, в котором АС – ось родства, а В₀В – направление родства. Покажем, что в этом родстве существует две пары соответственных прямых, каждая из которых при совмещении определяет направление сдвига.

Сначала выполним построение этих пар прямых, а потом докажем аналитически правильность этих построений. Через вершины В₀ и В проведем две параллельные прямые в каком-нибудь направлении, например, в направлении АС. На первой прямой в одну сторону от В₀ отложим отрезок В₀1 = Н (Н – высота треугольника А₀В₀С), а на второй прямой по обе стороны В отложим отрезки В2 = h и В3 = h (h – высота треугольника АВС). Соединяя точку 1 с точками 2 и 3, получим прямые, которые высекают на прямой В₀В точки R и S. На отрезке RS как на диаметре строим окружность β. Отмечаем точки М и N пересечения β с осью родства АС. Проводим две пары соответственных прямых ВМ , В₀М и ВN , В₀N, которые являются искомыми.

Подтвердим это аналитически.

Площадь треугольника В₀С₀N₀ (рис. 3)

,

откуда

,

где Н и С₀D₀ – высоты треугольника В₀С₀N₀

площадь треугольника ВСN

,

откуда

,

где h и СD – высота треугольника ВСN.

При сдвиге СD = С₀D₀ можем написать

, (1)

Из того, что В₀С₀N₀ ~ В₀СN следует

,

После подстановки в (1) и преобразований, получим

Эта формула подтверждает, что β есть окружность и построение этой окружности является правильным.

Таким образом, поставленные два вопроса решены.

Вместе с этим мы решили вопрос о представлении общего аффинного соответствия в виде произведения подобия на сдвиг. Действительно, все операции, проведенные нами над заданными треугольниками являются операциями над аффинными полями, которые эти треугольники представляют.