Боговиз А.В., Данько Е. В., Оскорбин Н.М.

Алтайский государственный университет, Россия

О функции ожидаемой полезности инвестиционных проектов в условиях риска

 

При оценке ожидаемых доходов с учетом возможных потерь инвестиционных проектов важную роль играет вопрос выбора критериев принятия проекта к реализации. В теории ожидаемой полезности оцениваются значения дохода при двух решениях: проект принимается (Р1); проект не принимается (Р2). Оптимальным признается решение с максимальной полезностью. При использовании показателя Лапласа проект принимается к реализации, если математическое ожидание дохода будет положительным.

В процессе обоснования решений в литературе рекомендуется иной подход к выбору рассмотренных альтернатив, при котором инвестору рекомендуется принять проект к реализации при выполнении следующего условия:

,                    (1)

где – верхняя и нижняя границы чистого приведенного дохода проекта, оцененные инвестором;  – коэффициент риска ( ).

Согласно существующим рекомендациям значение этого коэффициента не зависит от функции плотности распределения случайной величины  и выбирается равным  0,7 [1, с. 88].

Пример 1. Сравним результаты выбора решений по принципу ожидаемой полезности и по критерию (1). Пусть  – принимает значение  с вероятностью  p  и значение  с вероятностью .  Выбор решений Р1 или Р2 по критерию максимума ожидаемой полезности осуществляется с использованием таблицы 1.

Далее рассматриваем проекты с рисками, для которых   и  . В этом случае результаты выбора решений по сравниваемым критериям совпадают в единственном случае,  когда значение вероятности р равно коэффициенту риска .

Таблица 1. Ожидаемые полезности ,  решений Р1, Р2 в примере 1

Решения

Значения ожидаемых полезностей

Р1

Р2

 

Пример 2. Пусть  – равномерно распределенная на интервале  случайная величина. Тогда ожидаемые полезности примут значения, приведенные в таблице 2. При получении формулы ожидаемой полезности учитывается, что средний риск , вероятность р его наступления и средний доход  при решении Р1 равны соответственно:

; ;                     (2)

Таблица 2. Ожидаемые полезности ,  решений Р1, Р2 в примере 2

Решения

Значения ожидаемых полезностей

Р1

Р2

 

Считаем, что сравниваемые критерии согласованы, если для всех   одновременно выполняются условия  и . Простые преобразования записанных выражений показывают, что согласование критериев достигается в единственном случае, когда .

Поскольку рекомендуемые значения коэффициента риска больше указанной величины, то можно считать сравниваемые критерии не согласованными и установленный факт, что критерию (1) соответствуют более осторожные стратегии в сравнении с решениями таблицы 2.

В данном докладе ставится задача обеспечить эту согласованность за счет модификации функции ожидаемой полезности, с использованием результатов работ [2, 3]. Эту модификацию предлагается провести путем учета двух дополнительных  факторов: «страх» риска и «сожаление» по упущенной выгоде. Формализация указанных составляющих функции ожидаемой полезности решений на основе (2) может быть проведена следующим образом:

                            (3)

где  – коэффициент, учитывающий дополнительный страх риска ( ); – коэффициент упущенной выгоды ( ).

Как видим из выражения (3) модификация функции ожидаемой полезности инвестиционных проектов проведена путем дополнения составляющей платы за «страх риска» при решении Р1 и снятия этой составляющей при решении Р2, которая выступает как положительная составляющая полезности этого решения. Составляющая упущенной выгоды играет роль ожидаемых потерь при решении Р2, которые для рационального поведения не могут быть больше величины среднего дохода инвестора. Откуда следует, что значение коэффициента упущенной выгоды не превышает единицы.

Для инвестиционных проектов примера 2 модифицированная функция полезности приведена в таблице 3. При нулевых значениях введенных коэффициентов оценки ожидаемых полезностей таблиц 2 и 3 совпадают.

При согласованности критериев, в случае принятия проекта к реализации одновременно выполняются два условия:

;                    (4)

.                        (5)

Таблица 3. Модифицированные оценки полезности ,  решений Р1, Р2

Решения

Значения ожидаемых полезностей

Р1

Р2

 

После незначительных преобразований в случае равенства этих выражений, получим:

                           (6)

Исследованием неравенств (4), (5)  согласованности критериев показано, что в условиях примера 2 введенные коэффициенты принимают следующие значения: ;   . При заданном значении  для идентификации модифицированной функции полезности  достаточно получить оценку одного из введенных коэффициентов. Аналогичные исследования могут быть проведены для инвестиционных проектов и для конкретных инвесторов при произвольной функции распределения .

 

Литература:

 

1. Порядок проведения экспертизы проектов создания финансово-промышленных групп, представляемых на рассмотрение Правительства Российской Федерации: Постановление Правительства РФ от 23 мая 1994 г. №508 (в ред. Постановления Правительства РФ от 10 ноября 1996 г. №1344) // Собр. законодательства РФ. 1994. №5. Ст. 492; Собр. законодательства РФ. 1996. №47. Ст. 5337.

2. Крупкина А.С. Поведенческие парадоксы теории ожидаемой полезности. 

www.uresearch.psu.ru/files/articles/144_20316.doc

3. Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behaviour // Princeton University Press, 1944.