А.П.Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Частный вид общего решения уравнения смешанного типа второго порядка

Уравнениями смешанного типа называются уравнения, которые в одной части рассматриваемой области принадлежат эллиптическому типу, а в другой – гиперболическому. Эти части разделены линией (или поверхностью) перехода, на которой уравнение либо вырождается в параболическое, либо не определено. Теория уравнений смешанного типа имеет сравнительно недолгую историю.

Уравнения смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца строковых годов прошлого столетия. Возникшие в приложениях проблемы, в частности, проблемы около звукового течения сжимаемой среды в плоской постановке и безмоментной теории оболочек описываются уравнениями смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными, для которых как задача Трикоми так и далека идущие её математические обобщения имеют вполне определенный физический или геометрический смысл.

Наиболее распространенным уравнением смешанного типа является модельное уравнение

(1)

для которого есть линия параболического вырождения.

На линии параболического вырождения уравнения (1) выполняются условия склеивания

. (2)

Наряду с общими методами, применяемыми при решений уравнений смешанного типа, существуют для различного вида уравнений и некоторые специфические методы.

В этой работе мы ограничимся рассмотрением простого правила, позволяющего получить частный вид общего решения через вполне определенные функции, а неизвестными являются только параметры и (в некоторых приложениях это оказывается достаточным).

Вводя вместо новую переменную, зависящая от характеристик

(3)

уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

. (4)

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным получим общее решение уравнения (1), зависящее от произвольных постоянных и . Т.е.

. (5)

Не трудно проверить непосредственным дифференцированием, что есть действительно решения уравнения (1), удовлетворяющее условию склеиванию (2).

Аналогично, с помощью замены

получим общее решения уравнения (1) в виде

которые удовлетворят условию склеивания (2) при

и .

Полученные решения позволяют найти частное решение некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа второго порядка.

Литература:

1. М.М.Смиронов. Уравнение смешанного типа. М., «Наука» 1970 г. – 295 с.

2. А.В.Бицадзе. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., «Наука» 1981 г. – 448 с.