ЕЩЕ РАЗ О КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ БЮФФОНА

Цветков В.Н., Яблокова С.А., Боярская Ю.П., Гейда Е.Г.

Днепропетровский национальный университет

История науки показывает, что все ее отрасли по мере своего развития приходят к необходимости учитывать случайные отклонения от закономерностей и использовать их влияние на течение изучаемых процессов. Случайность в окружающем нас мире существует объективно, вследствие принципиальной невозможности учесть все причинные связи изучаемых явлений с бесчисленным множеством других явлений. При развитии науки границы между случайностью и закономерностью изменяются по мере расширения человеческих познаний: то, что являлось случайностью на одном этапе науки, может стать закономерностью на другом ее этапе и, наоборот, в явлениях, которые считались строго закономерными, вследствие совершенствования теории и техники эксперимента, повышения точности определения закономерностей обнаруживаются случайные отклонения от них и возникает необходимость учитывать эти случайные отклонения. Поэтому области применения вероятностных и статистических методов в различных прикладных отраслях науки непрерывно расширяются, а наукой, изучающей закономерности в случайном, является теория вероятностей.

Одной из иллюстраций объективности существования закономерностей в случайном является классическая задача Бюффона (задача об игле), которая состоит в следующем. На плоскость с нанесенными на нее параллельными прямыми на расстоянии 2а одна от другой случайно бросается игла длиной 2l (2l < 2a). Положение иглы относительно прямых характеризуется двумя координатами: расстоянием х от центра до ближайшей прямой, 0 £ x £ a, и углом φ ее наклона к прямой, 0 £ φ £ p /2. Игла пересекает хотя бы одну из прямых, когда x £ l×sin φ , и поэтому в данной задаче по геометрическому определению вероятность этого случайного события

О соответствии полученной математической модели действительности можно судить по результатам эксперимента а именно: пусть игла брошена n раз и в m раз произошло пересечение, тогда по статистическому определению вероятности при больших n частота

откуда экспериментальная оценка имеет вид . При этом относительная погрешность оценки числа составляет

% ,

где с точностью до девятого знака после запятой p = 3,141592654.

Для определения условий данного эксперимента была построена кривая зависимости величины Lg e от относительной длины иглы (l/а) по данным проведенных ранее аналогичных опытов. Как следует из рис. 1, эта зависимость имеет четко выраженный минимум и поэтому для обеспечения высокой точности оценки в данном опыте величина l/а была принята равной 0,95.

Рис. 1

На рис. 2 приведена кривая = f(n), полученная в данном эксперименте. Всего было проведено n = 8318 бросков иглы, при этом получено число пересечений линий m = 5035. Оценка числа составила = 3,141576 с погрешностью 0,00054%.

Рис. 2

В нижеследующей сводной таблице приведены известные в настоящее время результаты экспериментов при решении задачи Бюффона об игле.

	Относительная длина иглы (l/а)	Число бросков (n)	Число пересечений (m)	Оценка (p)	Относительная погрешность оценки (%)
Вольф 1850	0,8	5000	2532	3,1596	0,5732
Смит 1855	0,6	3204	1218	3,1553	0,4363
Де Морган 1860	1,0	600	382	3,137	0,1462
Фокс 1884	0,75	1030	489	3,1595	0,5700
Лаззерини 1901	0,83	3408	1808	3,1415929	0,00001
Рейнс 1925	0,5419	2520	859	3,1795	1,2067
Гриджеман 1960	0,7857	2	1	3,143	0,0448
ДНУ 2004	0,95	8318	5035	3,141576	0,00054