А.К.Кудайкулов, д.ф.-м.н., профессор

зав.кафедры «Компьютерно-математическое моделирование и автоматизация процессов», Международный Казахско-Турецкий университет имени Х.А.Ясави ,(г.Туркестан)

К.Б.Амиртаев, У.Б.Утебаев

преподаватели кафедры «Компьютерно-математическое моделирование и автоматизация процессов», Международный Казахско-Турецкий университет имени Х.А.Ясави, (г.Туркестан)

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО – ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЖЕСТКО – ЗАДЕЛАННОГО ОБОИМИ КОНЦАМИ СТЕРЖНЯ, ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПО ДЛИНЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

Предположим, что дан стержень ограниченной длины L, площадь поперечного сечения F, которая постоянна по длине стержня. Обе концы стержня жестко – заделаны. По длине стержня распределено поле температуры параболическим законом где . Модуль упругости материала стержня E, а коэффициент теплового расширения . При заданных исходных данных, необходимо найти поле распределения перемещений, деформаций и напряжений по длине стержня. Данную задачу будем решать исходя из принципа минимума потенциальной энергии системы, которая имеет вид [1]

min (1),

где W – плотность упругой потенциальной энергии; T – температурное поле; - коэффициент Пуассона материала стержня; объемная деформация.

Для удобства дискретизируем рассматриваемый стержень с четырьмя конечными элементами. Каждый элемент имеет по три узла. Тогда число узлов в стержне будет равна (рис-1).

Длина каждого элемента ; расстояние между узлами равно ; Теперь для каждого элемента запишем выражение принципа минимума потенциальной энергии (1)

(2)

где.

Предполагая, что для рассматриваемого стержня суммируем , т.е.

. (3)

Далее минимизируя (3) по узловым значениям упругих перемещений , получим следующую систему алгебраических уравнений относительно

Решая эту систему, находим значения перемещений деформаций и напряжений в соответствующих точках.

u₁=0, u₂=-0,008203125, u₃= -0,009375, u₄=-0,005859375, u₅=0, u₆=0,00589375, u₇=0,009375 u₈=0,00820325, u₉=0. Из этих результатов видно, что из за симметричности поле распределения температур по длине стержня перемещение серединной точки стержня будет равно нулю, т.е. . Также видно, что точки левой половины стержня перемещаются против направления оси Ох, в то время точки правой половины стержня наоборот симметрично перемещаются по направлению оси Ох. Теперь, построив поле деформации и напряжений, приходим к следующему заключению

Таблица 1

Координаты узлов (см)	Температу-ра в узлах (^0С)	Деформация между узлами εх			Истинное напряжение
х= -6,25	28,125	-0,00065625	-1312,5	-703,125	-2015,625
х= 18,75	73,125	-0,00009375	-187,5	-1828,125	-2015,625
х= 31,25	103,125	0,00028125	562,5	-2578,125	-2015,625
х= 43,75	118,125	0,00046875	937,5	-2953,125	-2015,625
х= 56,25	118,125	0,00046875	937,5	-2953,125	-2015,625
х= 68,75	103,125	0,00028125	562,5	-2578,125	-2015,625
х= 81,25	73,125	-0,00009375	-187,5	-1828,125	-2015,625
х= 93,75	28,125	-0,00065625	-1312,5	-703,125	-2015,625

Несмотря, что поле распределения температуры по длине жестко – заделанного обоими концами стержня имеет нелинейный характер, значение напряжения в любом сечении стержня будет постоянным и имеет сжимающий характер и оно везде равно . В точном решений этой задачи напряжение в любом сечении стержня одинаково и равно .

Как видно, что даже при грубом дискретизации рассматриваемого стержня, т.е. всего 4 элементами, полученный результат достаточно хорошо сходится с точным решением. В нашем случае, максимальная погрешность составляет всего 0,78125% .

Анализируя полученное решение, видим, что в рассматриваемом стержне появляется сжимающее усилие P=σּF - 40312,5кГ. Таким образом, без физического вмешательства, при параболическом законе распределение поле температур (T_max=T(L/2)=120⁰С), в жестко-заделанном обоими концами стержне ограниченной длины, может появиться сжимающее напряжение, которое постоянно по длине стержня, но его значение может, превосходит предел прочности этой конструкции. По этому расчет элементов конструкции на прочность с учетом температурных условий эксплуатации является весьма актуальной задачей.

Литература.

1. И.А.Биргер, Я.Г.Пановко. Прочность.Устойчивость.Колебания. Том1. М.: Машиностроение, 1968. 114-115 стр.

2. Сегерлинд Л., Применение метода конечных элементов, Мир:М., 1979.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –М, Наука, 1977.