Технические науки/11.Робототехника     

                                     Бергер Э.Г., Бергер Е.Э.

                   Херсонский национальный технический университет

К ВОПРОСУ СИНТЕЗА КОНИКОГРАФОВ

      Предварительные сведения. На рис. 1 изображен перспектограф  - кинематическая цепь, реализующая построение соответственных точек М1, М2 в перспективном преобразовании, заданном центром S, осью q и парой соответственных точек N1, N2 [1]. Это преобразование называется  гомологией; оно является линейным, т. е. не изменяет порядка преобразуемых кривых. Следовательно, при перемещении точки М1 по

                             Рис. 1                                      Окружностям точка М2 будет описывать кривые 2-го порядка – конические сечения.

Значит, присоединив к перспектографу кривошип (показан пунктиром), получим механизм коникографа, воспроизводящий в зависимости от


настройки кривые 2-го порядка. Изменяя взаимное положение исходных элементов S, q, N1, N2, C можно получить разнообразные конструкции коникографов.

Постановка задачи. Разработать конструкции коникографов и методику расчета параметров их настройки на воспроизведение заданных кривых 2-го порядка.

;

(1)

;

(1`)

 

 

 

 

Основная часть. Для упрощения формул настройки принимаем , т.е. соответственные точки N1, N2 определяем на луче SN1N2, перпендикулярном оси гомологии q (рис.2). Совместив с этим лучом ось абсцисс, формулы преобразования получим в виде

При удалении точки N2   в бесконечность ()точка (М2) определяется пересечением луча SМ1М2 с прямой , параллельной оси SX (показано на рис. 2 пунктиром).                             

При этом формулы (1) упрощаются к виду

 

            Рис. 2                                            ;

(2)

                                                                 ;

(2`)

Для упрощения конструкции механизма исключением кривошипа SM1 по рис.1, совместим кривошип SM1 с кулисой SM1M2, а его шарнир С с шарниром S.

При этом получаем две модификации коникографов, показанные на рис. 3. При перемещении точки М1 по окружности точка М2 описывает кривые 2-го порядка с фокусом в точке S. Их уравнение определяется подстановкой выражений (2) в уравнение (3) (индексы 2 при х, у опущены).

                                                                                                   (3)

 

 

                                 Рис. 3

(4)

 

Уравнение (4) выражает эллипс при R<n, гиперболу при R>n и параболу при R=n. В каноническом виде уравнение (4) записывается в форме

(5)

где полуоси , , фокусное расстояние ; Отсюда определяются параметры воспроизводимых кривых.

При совмещении направляющей q с осью ординат получаем коникограф, изображенный на рис. 4.  Пишущий штифт М2 воспроизводит кривые 2-го порядка вида (5), где            , ,                             (6)

Это кривая с фокусом в точке S является эллипсом при R<n, гиперболой при R>n и параболой при R=n.

При задании кривых полуосями a  и  b параметры настройки механизма

Определяются по формулам  ; для параболы            (7)

Если удалить в бесконечность точку N1, то точка Dна оси q  будет определяться пересечением луча  параллельного SN2X (рис. 5. а).

        

 

 

                                

 

 

 

               Рис. 4

                                                                                         Рис. 5

 

При перемещении М1 по окружности (3) построение точки D может выполняться кривошипно-ползунным механизмом SAD, в котором SA=AD=1/2R.Точка М2 определяется пересечением кулис SM1M2 и N2DM2 (рис. 5 б). Формулы преобразования (соотношение координат  точек М1 и М2) имеют вид                                                          ;                                       (8)

 

                                                          ;                           (8`)

При перемещении M1 по окружности (3) точка М2 описывает конические сечения  с фокусом S.

                                                                          (9)

 

Уравнение (9) выражает эллипс при R<n, гиперболу при R>n и параболу при R=n. Для вычерчивания конических сечений по заданным параметрам a, b, p параметры настройки механизма определяются по тем же формулам  (7).                                                                   

       Из (6) видно, что приведенные механизмы позволяют воспроизводить участки конических сечений со сколь угодно большими осями a, b и недоступным центром, находящимся за пределами чертежа (при обработке – за пределами станка).

Выводы. Метод проективной геометрии весьма эффективны при проектировании направляющих механизмов; Они позволяют получать новые оригинальные конструкции [3]. Такие механизмы находят применение в качестве узлов машин–автоматов, манипуляторов ПР, устройствах для обработки криволинейных профилей и др. [2].

                                                      Литература

 

 1. Добровольский В.В. Теория механизмов для образования плоских кривых. М. АНСССР, 1953. -146 с.

  2.Артоболевский И.И. Теория механизмов для воспроизведения плоских кривых. М. АНСССР, 1959. – 260 с.

3.Материалы патентной литературы, Бергер Э.Г. и др. авт. св. №630096, №648452, №1100150, №1100151.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бергер Евгений Эмильевич - кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения Херсонского национального технического университета

73002, г. Херсон, ул. Перекопская 159, кв. 5. тел. 34-36-64,  berger.61@mail.ru