Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ДИНАМІКА СТРУНИ ЯК СИСТЕМИ ІЗ ДИСКРЕТНО НЕПЕРЕРВНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

З метою спрощення математичної моделі, струну можна зобразити як сукупність точечних мас («намистинок»), з'єднаних між собою невагомою нерозтяжною ниткою, натягнення якої практично не залежить від маси «намистинок» (вага струни розподіляється рівномірно між «намистинками», відстані між сусідніми вважаються однаковими і не залежать від номера).

За даного припущення, система, що складається з трьох сусідніх «намистинок», які знаходяться на внутрішній частині струни (стан струни на її кінцях буде моделювати схема з двох крайніх «намистинок»), може бути схематично наведена так, як показано на рис. 1.

Рівняння балансу сил за цієї схеми має вигдяд -

. (1)

В припущенні досить малих відхилень точок струни від положення рівноваги можна синуси кутів замінити на тангенси, - маса - ої «намистинки»:

, (2)

де, в свою чергу, - маса одиниці довжини струни, - її довжина, - кількість розрахункових відрізків, на які розділяється струна, - сила натягу струни, - сила, що приходиться на одиницю довжини струни, - сила, діюча на відрізок струни довжиною .

Формула (2) записана в припущенні, що маса струни розподіляється між «намистинками» таким чином, коли крайні «намистинки» (за та ) мають масу по , а внутрішні по . Тоді сума їх мас якраз і буде дорівнювати , тобто масі струни.

За наявності тягарів на кінцях струни, їх маса, природно, додається до мас відповідних «намистинок». А якщо окрім цього є так званий ковзаючий тягар , тоді його маса додається до маси тієї «намистинки», в межах якої в момент часу, що розглядається, виявляється цей тягар, тобто коли ,

де

. (3)

Поділяючи (1) на і позначаючи , приводимо (1) до вигляду

, (4)

де , .

Рівняння (4) є аналогом хвильового рівняння (1). У ньому тільки друга похідна за координатою представлена своїм дискретним аналогом через другу центральну різницю. Власне, інакше і бути не може.

Якщо позначити

, (5)

тоді рівняння (4) розпадеться на два –

(6)

Для конкретності, розглянемо наступний варіант - струна, навантажена рівномірно розподіленою вздовж неї силою з граничною умовою I роду на її лівому кінці (Ngl=1), граничною умовою II роду на правому - (Ngr=2), коли на правому кінці закріплена маса , що вільно ковзає вздовж направляючої, паралельної осі ( на цю масу крім того діє сила, направлена вздовж направляючої.)

Струна має довжину lng, масу одиниці довжини M1s, натягнення (вважається, що натягнення практично не залежить від змін форми струни і прикладених до неї навантажень).

В розрахунковій дискретній схемі описаного варіанту навантаження струни при умові розподілу її на m однакових розрахункових відрізків матимемо -

; ;

Отже, варіант, що розглядається, може мати три можливих вхідних впливи:

(7)

Вихідними параметрами можливі або , або - , які ми будемо вважати за , тобто:

, (8)

тоді .

Систему з диференціальних рівнянь 1 -го порядку, що описує модель, яка розглядається, наведемо у вигляді -

(9)

де , , .

Позначаючи і замінюючи похідні в лівих частинах системи (9) на різницеві співвідношення уперед, а значення - їх величинами у відповідності з (7), приводимо (9) до вигляду:

Розв’язуючи одержану систему відносно значень змінних в - ий момент часу, визначаємо розрахункові співвідношення для її розв’язання методом Ейлера -

(10)

Виконання кроку за часом, довжиною , відповідно до формул (10) оформимо у вигляді підпрограми Stept.

Procedure Stept;

Var Z:integer;

Y:Coef;

Begin

For Z:=1 to m do

Y[Z]:=Yt[Z]+Tau*Yt[m+Z];

Y[m+1]:=Yt[m+1]+Tau*(- 2*k*Yt[1]+k*Yt[2]+k*Yl(t)+ Fz(t);)

For Z:=2 to m-1 do

Y[m+Z]:=Yt[m+Z]+Tau*(k*(Yt[Z-1]+Yt[Z+1])-)(2*k *Yt[Z]+Fz(t));

Y[2*m]:=Yt[2*m]+Tau*(k1*(Yt[m]-)(Yt[m-1])+k2/2* Fz(t)+k2*Fr(t));

Yt:=Y;

Yt[- 1]:=m;

Т:=Т+Tau

End;

Коефіцієнти, використані в процедурі Stept, обчислюються в процедурі CoefS.

Procedure CoefS;

Begin

Tau:=D/(L*KS);

Hx:=lng/m;

M1s:=P1s/g;

Mm:=Pm/g;

Mh:=M1s*Hx;

C2:=Ts/Mh;

С:=sqrt(C2);

K:=sqr(С/Hx);

K1:=Ts/(Mh*Hx);

K2:=1/(Mm+Mh/2);

Nx:=round(Xout/Hx)

End;