Карачун В.В., Мельник В.Н.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
Рассмотрим систему из
двух коаксиальных цилиндров, связаных между собой упругой связью. Наружный цилиндр
предполагается упруго податливым, внутрений – абсолютно твердым.
Через щель
протяженности на цилиндр
воздействует звуковое излучение. Поверхность наружного цилиндра в этом случае
приобретает упругие перемещения в направлении паралели
и в радиальном направлении
,
а внутренний цилиндр совершает поступательное перемещение
.
Здесь угол
-центральный угол
наружной щели,
- координаты точки приложения упругой связи.
Функция . Коэффициенты Фурье (комплексные
амплитуды) функции
имеют вид:
;
при
- определяется формулами
,
,
и их аналогами, в зависимости от местонахождения корней характеристического
уравнения на комплексной
плоскости, которое в свою очередь зависит от
находжения корней кубического уравнения на комплексной
-плоскости.
Зная коэффициенты Фурье функции
,
построим ее следующим образом:
. (1)
Некоторые
произвольные постоянные в указанных выше формулах остались не вычисленными. Они
могут присутствовать и в выражении (1), но быть такими, чтобы ряд сходился.
Другие ограничения для этих постоянных будут указаны ниже.
Функция . При
коэффициент Фурье
этой величины определяется формулой
,
При коэффициенты Фурье
этой функции находятся из соотношений:
,
где
- ранее вычисленные коэффициенты Фурье
функции
.
С учетом этого, функция
строится следующим образом –
. (2)
Зависимость
(2), подобно выражению (1), содержит произвольные постоянные. Они должны быть
такими, чтобы сходились оба ряда – (1) и (2). Но даже и при этих условиях, они
определены не единственным образом.
Искомые функции и
можно задать однозначно, подчинив
каким-нибудь дополнительным условиям, например, потребовав, чтобы они
стремились к нулю при
.
Функция . Вначале было установлено, что
.
и, так как функция, уже найдена, а функция
задается формулой (2), то и функция
также может быть определена.
В соответствии с
выбранной механической моделью, внутренний подвижный цилиндр абсолютно твердый
и его поступательное перемещение под действием волны давления определяется
функцией ,
а поверхность наружного – упругая, перемещения которой описываются искомыми
функциями
и
.
Точка с координатами
лежит в бесконечной полосе (наружная
оболочка предполагается бесконечной по протяженности)
.
Функции и
зависят от плотности внешней нагрузки
,
которая при всех значениях
и времени
сосредоточена в прямоугольнике
полосы и тождественно равна нулю вне этого
прямоугольника (рис. 1) . В соответствии с принятой моделью
.
Решаемая задача
является граничной – отыскиваются все решения,
ограниченные в полосе или (второй вариант) - только те, которые
обращаются в нуль при
.
Если плотность
внешней нагрузки и искомые функции
и
записать в виде рядов Фурье по переменной
то по сути дела, задача сведется к определению
коэффициентов Фурье
и
, то есть комплексных амплитуд.
Определяются только
те решения, которые ограничены на оси ,
либо, в частности, обращаются в нуль при
.
Для значений
получено уравнение шестого порядка относительно
,
отыскав которое, можно вычислить
с помощью первого из уравнений.
Чтобы уравнение при
любой допустимой нагрузке имело ограниченное на всей оси
решение
, необходимо и достаточно, чтобы параметры
оболочки, были такими, при которых характеристическое
уравнение не имело бы кратных корней на мнимой оси комплексной плоскости
или, что то же самое, уравнение не имело
кратных отрицательных корней в
комплексной
-плоскости.
Если же это условие не выполняется и кубическое уравнение
имеет двукратный или трехкратный отрицательный корень, то для того, чтобы решение
было ограниченным на всей оси, необходимо и
достаточно обеспечить функциональную связь функции
и нагрузки
в виде
,
, (3)
удовлетворяющем
определенным ограничениям. Эти условия не меняются при замене на
.
Коэффициенты Фурье и
содержат произвольные постоянные. Они должны
быть такими, при которых ряды (1) и (2) сходятся. Однако и в этом случае они
определяются не однозначно. Чтобы этого избежать, надо также задать начальные
условия для перемещений
и
вдоль образующей цилиндра
(4)
для фиксированного
значения . Разумеется, эти условия будут функциями
параметра
.
Граничные условия задачи могут быть сформулированы и
более жестко. Например, вместо того, чтобы требовать ограничения решения в
полосе , можно
оговорить стремление решения к нулю при
вместе со всеми своими производными,
при
любой допустимой внешней нагрузке. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
,
а
характеристическое уравнение не имело бы кратных корней на мнимой оси
комплексной плоскости , что равносильно требованию отсутствия в
кубическом уравнении отрицательных корней в комплексной
-плоскости.
В
этом случае ни коэффициенты Фурье и
,
ни функции
и
,
не будут содержать произвольных постоянных и, следовательно, начальные условия
задавать нельзя.
Для
таких, более жестких, граничных условий можно применить еще один метод –
преобразование Фурье по переменной на оси
.