Экономические науки / 8. математические методы в экономике

Дмитренко И.С.

Донбасская государственная машиностроительная академия

Сведение задачи планирования работы предприятия к задаче нелинейного программирования.

Математические методы, применяемые в экономике, имеют широкий спектр направлений. В настоящее время встречаются довольно сложные модели, все более точно моделирующие реальные экономические процессы.

Целью данной работы является не построение сложной экономико-математической модели, а создание реально решаемых при помощи не сложных алгоритмов, но достаточно точно приближающих, экономических моделей, которые могли бы быть с успехом внедрены в учебный процесс высшей школы. Данные модели естественно вводить в образовательный процесс как часть курса нелинейного программирования, следующего за традиционным линейным программированием.

Нелинейное программирование включает в себя достаточно большой набор направлений современного исследования операций, одной из ветвей которого является сепарабельное программирование. Рассмотрим модель сепарабельного программирования, подразумевающую решение графическими методами с элементами аналитических расчетов. Модель взята из [1], с некоторыми дополнениями и усовершенствованиями.

Рассмотрим задачу планирования работы некоторого условного предприятия, выпускающего продукцию двух видов A и В. Трудоемкость обработки каждого изделия на соответствующей машине, а также полезный фонд времени работы записаны в табл. 1

Таблица 1

Машина	Наименование продукта		Полезный фонд времени машины
	А	В
1 2	2 3 2 1		6000 4000

Доход от реализации единицы продукта A составляет 0,5 ден.ед., единицы продукта B – 0,4 ден.ед. Необходимо разработать план работы предприятия на неделю, позволяющий максимизировать доход на имеющихся мощностях.

Обозначим, через искомый выпуск за неделю продукта A - соответственно продукта В.

По таблице 1 можно построить следующую систему ограничений:

Суммарный доход, описывающий целевую функцию решаемой задачи, линейно зависит от количества единиц произведенной продукции и записывается в виде:

Воспользуемся графическим методом решения задачи (рис.1).

Рис.1.

Область поиска экстремума ограничена координатными осями и прямыми Наибольшее значение целевой функции достигается в точке , где грн и соответствует выпуску продукции А в количестве 1500 единиц, В – 1000 единиц за неделю.

В описанной нами ситуации величина дохода от единицы произведенной продукции являлась константой, а это предполагает, что вне зависимости от объема производства вся продукция находит потребителя. На самом деле, по мере освоения технологии производства продукции, затраты уменьшаются, спрос на нее уменьшается с увеличением числа произведенных продуктов, т.е величина дохода является не константой, а переменной функцией. Пусть, например, доход, получаемый от единицы продукции А, уменьшается с увеличением числа произведенных продуктов по закону , а от продукции B – по-прежнему 0,4 ден.ед. на единицу. Тогда целевая функция принимает вид:

(*)

при тех же ограничениях на область поиска переменных (рис.2).

Рис.2

Данная задача относится к задаче нелинейного программирования, т.к. переменные и входят в целевую функцию в степенях выше первой.

Максимальное значение функции достигается в точке и равно 856 грн. Это решение было найдено аналитическим путем: оптимум – точка касания прямой с параболой (*). Отметим, что условием задачи, естественно, варьировать, и предполагать изменение дохода по выпуску одного лишь второго вида продукции – В. В этом случае целевая функция задачи будет иметь, например, такой вид: (**)

В случае одновременного уменьшения дохода предприятия с ростом производства по выпуску обоих видов продукции А и В, целевая функций задачи приобретает вид:

(***)

или в преобразованном виде:

т.е целевая функция – окружность с центром в точке М(1000, 800).

Решая задачу, аналитически найдем, что оптимум – точка, совпадающая центром окружности (***), т.е. линии уровня данной целевой функции представляют собой концентрические окружности с постоянным центром и меняющимися радиусами. В данном случае, максимальное значение функции достигается в точке и соответствует выпуску единиц продукции А и единиц продукции В за неделю работы предприятия.

Примененный метод решения носит название графоаналитического метода и является эффективным в случае двух переменных. Очевидно, что построенная в работе, модель является наиболее адаптированной к применению на практических занятиях по исследованию операций в высшей школе как наглядная, не трудоемкая и имеющая характерную экономическую специфику. Тем не менее, стоит отметить также тот факт, что решение подобных математических моделей является хорошей тренировкой для будущих специалистов, т.к. на практике такие задачи характеризуются, как правило, большой размерностью. Решение подобных задач можно, в дальнейшем совершенствовании модели, разбивать на соответствующие этапы, включающие в себя, соответственно, по две переменные.

Литература:

1. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Киев, «Высшая школа», 1975. 348-350с.

2. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб.пособие / А.В.Кузнецов, В.А.Сакович, Н.И.Холод и др.; 2-е изд.,перераб. и доп.- Мн.:Выш.шк.,2002. 271-278с.