Математика/5. Математическое моделирование

к. т.н. О.В. Бруслова

Тюменский государственный нефтегазовый университет

г. Новый Уренгой, Россия

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ БайесовскИХ МЕТОДОВ сТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ законов распределения отказов нефтепромысловЫХ систем

Исчерпывающей характеристикой надежности нефтепромыслового оборудования является закон распределения времени безотказной работы, однако его статистическое определение связано с большими трудностями. По данным статистического ряда строятся графики статистических функций показателя надежности. Плотность распределения наиболее наглядно отражает специфические черты закона распределения по ее форме можно сделать предположение о виде закона распределения.

Гистограмма и вероятность безотказной работы дают представление о распределении показателя надежности, но в статистическом материале из-за ограниченности числа наблюдений всегда присутствуют элементы случайности. Поэтому при обработке статистического материала важной задачей является подбор теоретического закона распределения, наилучшим образом описывающего статистическое распределение, выражающее его существенные черты без элемента случайности. Теоретический закон подбирают, принимая во внимание физическую природу отказов, форму кривой плотности распределения, коэффициент вариации.

Значение коэффициента вариации, которое определяется по формуле

,

где s - среднее квадратическое отклонение; — среднее значение периода безотказной работы системы, позволяет судить об условиях эксплуатации нефтепромыслового оборудования. Вид закона распределения устанавливается в зависимости от величины коэффициента вариации.

Так, при коэффициенте вариации V<0,3 имеет место нормальное распределение, при V>0,5 – распределение Вейбулла

.

Функция распределения

, где а и b — параметры распределения Вейбулла.

Параметр b можно определить в зависимости от коэффициента вариации. Параметр а находится из выражения или , где К_b и С_b — коэффициенты, определяемые при известном коэффициенте вариации. При b = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, при b = 2,5÷З,5 — близко к нормальному. Поэтому распределение Вейбулла является очень гибким законом и широко применяется в теории надежности. Очевидно, распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих в результате износа и старения, для отказов устройств, состоящих из последовательно соединенных элементов.

Для оценки близости статистического и теоретического распределений применимы критерии К. Пирсона и А. И. Колмогорова.

Критерий χ² определяется по формуле

, где К — число интервалов статистического ряда; n_i — частота в i-м интервале; n — общее число значений случайной величины; P_i — теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал. Вероятность попадания случайной величины в i-й интервал равна приращению функции вероятности в этом интервале: , где P_{i n} и Р_ik - функции вероятности в конце и начале i-ro интервала.

Рассчитав значение χ², в зависимости от числа степеней свободы определяют вероятность совпадения эмпирического и теоретического распределении. Если χ²=0,1, то считают, что статистические данные не противоречат принятому теоретическому распределению. Число степеней свободы определяется по формуле , где K — число интервалов; s — число обязательных связей.

Для распределения Вейбулла число обязательных связей принимают равное 3. Поэтому число интервалов статистического ряда должно быть больше или равно 4, а число наблюдений 30 и более.

Критерий А. Н. Колмогорова часто применяют при исследовании надежности установок. Строят статистическую функцию распределения F*(t) и теоретическую функцию распределения F(t) для распределения Вейбулла. Затем оценивают максимальную величину расхождения между функциями F*(t) и F(t), т. е..

Далее определяют значение ^χ по формуле и находят вероятность P(l).Определим доверительные границы показателя надежности. При распределении Вейбулла доверительные границы рассеивания среднего значения равны и , где r₁ и r₃ - коэффициенты, берутся в зависимости от объема информации и доверительной вероятности.

Рассмотрим условия для различных видов аварий, таких, как обрывы и отвороты НКТ. Рассмотрим условия Уренгойского НГДУ. Полученные результаты представим в виде гистограмм и графиков.

Для обрывов и отворотов получены:

функция распределения ,

вероятность безотказной работы ,

плотность распределения .

Рис. 1. Гистограмма и функция плотности распределения f(t) от времени наработки для обрывов и отворотов

Рис. 2. Статистическая вероятность безотказной работы и функция вероятности безотказной работы P(t) в зависимости от времени наработки для обрывов и отворотов

Таким образом, установлено, что различные аварии, в частности обрывы и отвороты, определяются распределением Вейбулла.

Перейдём к алгоритму оценки показателя надежности для распределения Вейбулла времени безотказной работы.

Пусть время безотказной работы x подчиняется распределению Вейбулла с плотностью:

(1)

и функцией распределения:

. (2)

Тогда оцениваемый показатель надежности за время t_o вычисляется по формуле

. (3)

Выражение для функции правдоподобия при реализации плана испытаний с неинформативным цензурированием (НЦ-план) равна:

, (4)

где

, .

Вместо параметра l будем использовать параметр r. Выразим функцию правдоподобия через r и a. Для этого воспользуемся зависимостью (3), из которой следует:

. (5)

Подставив (5) в (4), получим

, (6)

где

Отметим, что при a=1 модель распределения Вейбулла преобразуется в экспоненциальную. Считая, что априорно задана плотность распределения h(r, a), используя теорему Байеса, получим

. (7)

Зависимость (7) является исходной для получения любых оценок показателя надежности R. В частности, при равномерных априорных распределениях параметров r и a соответственно в промежутках [R_н,R_в] и [a₁, a₂] получим

, ,

откуда , где .

Расчет с помощью полученных выражений может быть упрощен, если воспользоваться интегралом

и образовать функцию

.

После громоздких преобразований получим следующие окончательные выражения для оценок показателя R:

, (8)

, (9)

где

. (10)

Уравнение для определения байесовской нижней доверительной границы имеет вид

. (11)

Данный алгоритм был применён при оценке показателей надежности для распределения Вейбулла времени безотказной работы к частному случаю, такому как обрывы и отвороты по условиям Уренгойского НГДУ, где вероятность безотказной работы представлена в виде

.

Рис.3 Зависимость оценки вероятности безотказной работы от времени

при обрывах и отворотах

На основе обработки промысловых данных об обрывах колонн штанг и отворотах НКТ, установлено, что отказы скважинного оборудования по вышеперечисленным причинам описываются распределением Вейбулла. Адекватность полученных законов распределения оценена критерием Пирсона и Колмогорова. Для определения устойчивости полученных законов распределения об отказах использованы байесовские методы статистического оценивания. Полученная оценка вероятности безотказной работы на промежутке до 90 суток практически совпадает с фактической функцией распределения безотказной работы, в дальнейшем наблюдается существенное расхождение. Это говорит о том, что фактическая функция распределения вероятности безотказной работы дает значительное занижение. С другой стороны, полученная байесовская оценка служит верхней границей оценки и позволяет использовать при 100t300 сут. нижней границей P(t)=0.4. Из рисунка 4 видно, что наибольшие значения апостериорной дисперсии приходятся на интервал времени от 75 до 125 сут.

Рис. 4. Зависимость среднеквадратического отклонения от наработки

при обрывах и отворотах

Литература

1. Исакович Р.Я., Блохина М.Г., Бравичева Т.Б. и др. Методика построения функции распределения времени безотказной работы и восстановления скважин. - М.: МИНХ им. И.М. Губкина, 1989, № 147.

2. Кучумов Р.Я., Булгаков Р.Р. Методика управления надежностью нефтепромыслового оборудования по данным эксплуатации скважин: Обзорная информация. - М.: ВНИИОЭНГ. Сер. Нефтепромысловое дело, 1992.

3. Кучумов Р.Я., Пчелинцев Ю.В., Бруслова О.В. Исследование влияние обрывов и отворотов насосных штанг и труб на коэффициент технической готовности скважин, // Модели технического обслуживания и ремонта нефтепромысловых систем. – Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2000. - С. 21-30.