Мельник В.Н., Карачун В.В.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
оДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ВОЗМУЩЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ ВЗВЕШЕНОГО ЦИЛИНДРА В АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
Под
действием прошедшей внутрь прибора акустической волны поплавок будет совершать
поступательное движение в направлении излучения. Естественно, что величина
этого перемещения будет ограничена геометрией цапфенных опор.
Вынужденное
движение поплавка под действием звуковой волны приведет к дополнительному
давлению на опоры выходной оси увеличивая тем самым сухое трение.
Решая
первую задачу динамики, можно вычислить величину этого давления:
где M – масса поплавка, U (t) – поступательное
перемещение гироузла.
Ограничиваясь
систематической составляющей погрешности измерений, без учета динамики
подвижной части, определяем значение акустической погрешности (в простейшем
случае) –
где - радиус цапфенной опоры, - коэффициент жесткости пружины ДУСУ. Остается установить
закон перемещения поплавка под действием
звукового излучения.
Для иллюстрации сказанного
примем поплавок абсолютно твердым телом массы , перемещающимся поступательно в реальной, несжимаемой,
жидкости вдоль одной координатной оси. Строго говоря, в натурных условиях имеют
место и три угловых движения. Однако, для простоты, эти движения здесь не
рассматриваются.
Пусть функции,
определяющие перемещение жидкости и ее взаимодействие с поплавком имеют
вид –
где - присоединенная масса; коэффициент трения; - дельта-функция
Дирака, представляющая собой мгновенное значение импульса акустического
воздействия; единичная функция Хевисайда. Связь между функциями Дирака и
Хевисайда определяется равенством
причем
Отсюда очевидно, что
Имеют место равенства:
Эти соотношения позволяют
установить закон поступательного перемещения поплавка:
для линейно- и вязко-упругого, безгистерезисного, подвеса
(2)
для вязко-упругого подвеса
(3)
для линейно-упругого подвеса
(4)
с учетом только вязкого сопротивления при перемещении поплавка
(5)
где , - соответственно
коэффициенты упругости и демпфирования; ‑ масса вытесненной поплавком жидкости.
Вначале изучим более общий случай – уравнение (2). Примем полный импульс
акустической волны конечным по величине. Выясним закономерность движения
гироузла. Для этого уравнения (2) запишем в виде –
Применив одностороннее преобразование Лапласа получаем в
операторной форме:
Отсюда –
где
Так как
то решение уравнения (2), переходя к оригиналу, в
окончательном виде можно записать так –
(6)