Математические науки. Дифференциальные и интегральные
уравнения
Ахажанов Т.Б.
Евразийский национальный университет им.
Л.Н. Гумилева, г. Астана
ВАРИАЦИОННЫЙ МОДУЛЬ
НЕПРЕРЫВНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ-ХААРА.
В данной работе приводятся условия сходимости рядов,
составленных из коэффициентов Фурье-Хаара функций ограниченной p- вариаций.
Определения. Пусть функция определена на
множестве
и
, где
,
,
- произвольное разбиение множества
. Вариационной суммой порядка
функции
по разбиению
назовем величину
,
где
,
и
,
,
,
.
Для функции одной переменной понятие вариационной
суммы впервые ввел Винер [1], для функций двух переменных
-Л.Кларксон и С.Адамс [2].
Вариационным модулем непрерывности порядка
функции
называется величина
где . Будем говорить, что
,
, если
, и что
,
, если
. Свойства
вариационного модуля непрерывности для функции одной переменной исследованы
А.П. Терехиным [3], С.С. Волосивецем [4].
Функции
системы Хаара на задаются так:
при
; если же
,
,
и
,
то
.
Пусть ,
-параметр суммирования,
,
,
тогда кратную систему
Хаара определим следующим образом:
.
В данной работе исследуется
вопрос: при каких условиях, накладываемых на
вариационный модуль непреррыности порядка функций многих переменных
имеет место сходимость ряда
,
,
где -коэффициенты Фурье-Хаара функции
. Для случай функций одной переменной такие вопросы
рассматривались С.С. Волосивецом [6].
В
следующей теореме приводится оценка коэффициентов Фурье-Хаара функций многих
переменных через вариационный модуль непрерывности порядка .
Теорема 1. Пусть ,
и
,
.
Тогда верно неравенство
.
Теорема 2. Пусть ,
и
,
.
1) Пусть ,
. Тогда при условии сходимости ряда
сходиться ряд
.
2) Пусть ,
,
. Тогда при условии сходимости ряда
сходиться ряд
.
Литература
1. N.Wiener. The
quadratic variation of a function and its Fourier coefficients / Massachusetts
J.Math., 3(1924), 72-94 с.
2.
J.A. Clarkson and C.R. Adams. On definitions of bounded variation for functions of
two variables /
Trans. Amer. Math. Soc., 35(1933),
824-854 с.
3.
Терехин А.П. Приближение
функций ограниченной p- вариации /
Изв. Вузов. Математика. 1965. №2. 171-187 с.
4.
Волосивец С.С.
Приближение функций ограниченной p- вариации
полиномами по системам Хаара и Уолша / Мат. Заметки. 1993. Т 53. №6. 11-21 с.
5.
Б.И.Голубов, А.В.Ефимов,
В.А.Скворцов. Ряды и преобразования Уолша: теория
и применения. /
Москва «Наука», 1987 г.