Кудайбергенов С.С., Жунисбекова У.Д.

ЮКГУ им. М.Ауезова, г. Шымкент, Казахстан

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ НА КЛАССЕ СОБОЛЕВА-ЧЕБЫШЕВА.

Пусть заданы натуральные числа N и s, ,

. Пусть - некоторый класс непрерывных на множестве функций s переменных.

Положим

Здесь интеграл понимается в смысле Римана, а конечная сумма

называется квадратурной формулой (см. [1]).
Пусть для каждого j (j=1,…,s) задана ортонормированная на R система и

Классом Соболева называется множество функций 1-периодических по каждой из s (s=1,2,…) переменных и таких, что

,

где коэффициент Фурье функции по системе .

Классом Ульянова называется множество функций 1-периодических по каждой из s (s=1,2,…) переменных и таких, что ( ):

здесь медленно колеблющиеся положительные функции при всех коэффициент Фурье функции по системе .

Когда система – тригонометрическая, задача (1) рассмотрена многими авторами.

Н.С.Бахвалов (см. [2]) показал, что

а в разных конкретизациях эти вопросы были рассмотрены В.А.Быковским (см. [3]) при (q=2,r=1,2,...), В.Н.Темляковым (см. [4]) при (2<q< , rq>1), Н.Темиргалиевым (см. [5]), и др.(см. [6,7]).

Система

называется системой Чебышева, а коэффициент Фурье-Чебышева интегрируемой с весом

функции определяется по формуле

(см. [8])

На классе при оценки квадратурной формулы были рассмотрены в работах (см. [9,10]).

Для данного целочисленного вектора с неотрицательными компонентами определим множество

где - целочисленная решетка - мерного евклидова пространства . И при рассмотрим квадратурную формулу

где .

Легко вычислить, что количество узлов квадратурной формулы равно .

Целью настоящей статьи является оценка погрешности квадратурной формулы на классе

Теорема. При справедливо

здесь, как и выше указано, – число узлов в квадратурной формуле

Вспомогательные утверждения.

Теорема 1. (см. [5 ]). Для всякого конечного множества Ω , имеет место равенство

где

коэффициенты Фурье – Чебышева интегрируемой с весом

Лемма 1. (см. [5 ]) Для любого натурального справедливо равенство

.

Доказательство теоремы. На основании теоремы 1 и применяя неравенство Гельдера-Минковского имеем:

Ряд при 2r>1

сходится.

Отсюда, учитывая лемму 1, имеем

Из эквивалентности следует эквивалентность , тогда полученный результат можно записать в виде

Теорема доказана.

Литература.

1. Темиргалиев Н.Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразование рядов Фурье (Продолжение 1)// Вестник Евразийского Национального университета. 2002. №3-4.

2. Бахвалов Н.С. Оценки сверху асимптотических характеристик функций с доминирующей смешанной производной. // Матем.Заметки. 1972. Т.12, №6.

3. Быковский В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространстве с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток. Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР. Владивосток. 1985. №23. C.31.

4. Темляков В.Н. Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул //Матем.сб. 1990 Т.181. №10.С.1403-1413.

5. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С.С., Шоманова А.А. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Известия РАН, сер. матем.,2009, Т.73 №2. Стр. 183-224.

6. Нурсултанов Е.Д., Тлеуханова Н.Т. О приближённом вычислении интегралов для функций из пространства // Успехи матем. наук, 2000. Т.55, №6.

7. Нурсултанов Е.Д., Тлеуханова Н.Т. Квадратурные формулы для классов функций малой гладкости // Матем. сб.2003. Т.194, №10.

8. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

9. Кудайбергенов С.С., Исаходжаев Д.Х. Оценка сверху погрешности квадратурной формулы на классе Ульянова – Чебышева. Труды региональной научно-практической конференции молодых учёных. Тараз,17 апреля 2007.

10. Кудайбергенов С.С., Джаулыбаева Э.Б., Жунисбекова У.Д. Оценка сверху погрешности квадратурной формулы на классе Ульянова – Чебышева. Труды региональной научно-практической конференции молодых учёных. Шымкент,16 ноября 2009.