Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОЖУХА ГИРОСКОПА

Дифференциальные уравнения упругой цилиндрической поверхности кожуха запишем в вид –

;

, (1)

где - коэффициент (,- толщина и радиус цилиндрической оболочки); и - соответственно тангенциальная и радиальная составляющие перемещения боковой поверхности (рис. 1); ; - центральный угол; - длина цилиндра.

Граничные условия зададим в виде:

; ; . (2)

Пусть в начальный момент времени с упругой оболочкой начинает взаимодействовать волна давления

, (3)

где - амплитуда плоской монохроматической волны; - координаты точки поверхности; ; ; - косинус угла между нормалью к фронту плоской волны и -нормалью к поверхности.

Решение систем уравнений (1) и (2) будем искать в виде рядов Фурье функций и в прямоугольнике

(4)

В соответствии с принятыми граничными условиями, ряд Фурье по переменной строится в виде –

(5)

здесь - числа полуволн в плоскости шпангоута и продольной соответственно.

Вычислим коэффициенты Фурье функции в прямоугольнике (4):

, (6)

где

(7)

Полагая, что , получим –

(8)

Таким образом, выражение (6) можно преобразовать к виду –

, (9)

если .

В окончательном виде соотношение (8) представляется так –

. (10)

Если подставить (5) и (10) в исходную систему дифференциальных уравнений (1), то получим:

(11)

где ; .

При эта система уравнений преобразуется:

(12)

Отсюда следует, что если

(13)

то . Если же, наоборот,

(14)

то может принимать произвольные значения.

Вследствие этого, в качестве исходного, зададим –

при сформированном выше ограничении .

Коэффициенты без особых затруднений найдутся из выражений (12) –

, (15)

причем выполнение условия (13) здесь не обязательно.

Вычислив определитель системы (11)

(16)

при условии, что он не равен нулю (), несложно найти и искомые неизвестные величины:

(17)

где ; .