Технические системы

Автоматизированные системы управления на производстве

Айтчанова Ш.К.
Республика Казахстан, Алматинский институт энергетики и связи

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

  Широкий класс стохастических систем относится к классу нелинейных динамических систем и представляется функциональным уравнением [1]

                               ,                                         (1)

где  u(t) – входной случайный процесс; z(t) - выходной случайный процесс; параметр l характеризует случайность нелинейного преобразования, представляемого функционалом G.

При изучении систем (1) случайность их параметров удобно представить в виде дополнительного внешнего возмущения действующего на параметры системы [2]. В этом случае уравнение (1) записывается в виде

                               ,                                   (2)

Целью настоящей работы является построение общей формы функционала в виде рядов Вольтерра, представляющего решение уравнения типа (1) и описывающего поведение стохастических нелинейных систем.

Рассматривается стохастическая динамическая система, представляемая  уравнением (2). Известно, что для многих систем автоматического управления в рабочих зонах их амплитудно-частотной характеристики спектральные плотности возмущающих воздействий на параметры остаются постоянными. Это дает возможность считать случайные возмущения m(t) в уравнении (2) белым шумом с характеристиками:

                             ,                                 (3)

где r11-интенсивность (высота) спектральной плотности белого шума.

Выразим белый шум m(t) через соответствующий ему винеровский процесс  [3]

                                          ,                                                          (4)

или

                                             ,                                                      (5)

где h(t)-траектории винеровского процесса H(t), удовлетворяющего соотношениям:                                     

                                    ,.                                    (6)

С учетом (4) представим при нулевых начальных условиях решение уравнения (2) в виде следующего функционала

                                      .                                    (7)

В (7) траектории u(t) и h(t) входного процесса u(t) и шума h(t) удовлетворяют условиям ограниченности в вероятностном смысле, например:

                     ,                                                                  (8)

                     .                                                                 (9)

Функционал А является непрерывным в вероятностном смысле, например, для любых функций u1(t), u2(t) из u(t) и h1(t),h2(t) из h(t) существуют сколь угодно малые положительные числа g, d(g), e, b(e) для которых справедливо:

              

                .                                (10)

В этом случае справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Если функционал (7) является непрерывным в вероятностном смысле, а входные процессы u(t) и  удовлетворяют условиям ограниченности в вероятностном смысле (8) и (9), то он может быть представлен в виде следующего ряда

                            ,                                           (11)

где матрица  определяется в виде

              ,       (12)

вектора и

      ;

.    (13)

Интеграл при импульсной характеристике  имеет кратность, равной  r+s. Через t и q обозначены комбинации (t1,…,tr) и (q1,….,qs), которые раскрываются в соответствии с правилами обычного каскадного соединения. Интегралы при дифференциале du(t) понимаются как среднеквадратические интегралы Стилтьеса, а при дифференциале d*h(q)- как среднеквадратические интегралы Ито.

Доказательство. Следуя методике, использованной в [1], рассмотрим вместо реальных входных процессов u(t) и (t) их ступенчатые аппроксимации

                                                  (14)

где        .

                                                 (15)

где .

степень приближения последовательностей ступенчатых процессов un(t) и m(t) к соответствующим реальным случайным процессам u(t) и (t) может оцениваться в смысле

              , .

Последовательность ступенчатых функций (14) и (15) приближается к соответствующим входным процессам, если

                                   .

Если теперь на вход системы подать процессы un(t) и m(t), состоящие из ступенчатых функций (14) и (15), то функционал (7)  будет зависеть от  Du0, Du1,..., Dun-1, , т.е. вместо функционала получим функцию n+m переменных:

                .                 (16)

Наряду  с функцией n+m переменных (16) рассмотрим полиномы вида

 

 

.                                          (17)

Функцию А (n+m) (16) будем описывать  с помощью полиномов P(n+m)r,s (17) в смысле

                                          .

 Теперь осуществим предельный переход от функций (16) к функционалу (7), т.е.

                                          .

  Для этого рассмотрим смысл предельного перехода каждых элементов полинома (17). В него входят интегральные суммы двух видов. В одну из них входят приращения входного процесса u(t) в виде , а в другую – (t) в виде .

  Интегральная сумма первого типа в линейном случае имеет вид

                             .                            (18)

Из-за непрерывности исходной функции  А(n+m) ступенчатая функция hn,0(t), образованная из чисел h(n-i),0 i=1,2,..,n-1, сходится к непрерывной функции h1,0(t),т.е.

                                 .                                     (19)

  Входной процесс u(t) с вероятностью единица имеет ограниченную вариацию. В этом случае пределом интегральной суммы (19) в среднем квадратичным будет интеграл Стилтьеса [1], т.е.

              .                (20)

Аналогично, предел   в среднем квадратичном рассматриваемого вида интегральной суммы r-го порядка  примет вид

                      .                                 (21)

 Теперь рассмотрим интегральную сумму второго вида. В линейном  случае она имеет вид

                                                      (22)

Аналогично, предел ступенчатой функции  определяется в смысле (19).

В отличие от (19), входной процесс  (t), входящий в рассматриваемую сумму  (22), имеет неограниченную вариацию. Тем не менее, предел в среднем квадратичном интегральной суммы (22) существует и носит название стохастического интеграла   Ито [2]:

             .          (23)

Стохастические интегралы, понимаемые в смысле Ито, обозначаются далее звёздочкой при дифференциале   

Аналогично, предел в среднем квадратичном  рассматриваемого  вида интегральных сумм s-го порядка     примет вид

                               .                      (24)

В результате, совершая предельный переход от функций   (16) к функционалу А (7) с учетом полученных видов интегральных функционалов (20), (21)  и (22), (23), получим общую форму нелинейного стохастического функционала (7), которая в векторно-матричных обозначениях (12), (13) примет вид (7). Утверждение доказано.

Таким образом, получено описание типа “вход-выход” нелинейных динамических систем со случайными параметрами в виде функционала (7). Ряд (7) будем называть стохастической вольтерровской моделью системы вида (2).

Такое описание стохастических нелинейных динамических систем в виде функционала (7) позволяет исследовать основные его свойства, такие как оценка динамической точности, статистический синтез и др.  

Литература:

1. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. М.: Наука,1976, 438 с.

2. Тихонов В.И., Миронов В.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977, 488 с.

3. Тихонов В.И.Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966, 678 с.