В.Г.Красиленко, к.т.н., с.н.с.,доцент,
ВСЕІ
Університету «Україна», м.Вінниця
В.М. Дубчак, к.т.н., доцент, ВНАУ;
М.А. Шутило, ст. викладач ВНТУ.
Теоретичний базис
та вибір принципів побудови обчислювальних систем багатозначної логіки.
Дослідження багатозначної порогової логіки (БПЛ) виникли в початковий
період досліджень порогової логіки (ПЛ). Після опису властивостей порогових
(двійкових) функцій розпочались роботи по трійковій ПЛ, які тривали декілька
десятиліть, що пояснювалося появою можливостей її реалізації на основі
спектральних компонент, спочатку дискретних, а потім і мікроелектронних
інтегральних. Відомо, що двійкова ПЛ є функціонально повною, причому із всіх 16
існуючих двомісних функцій 14 є пороговими, а зміна вагових коефіцієнтів
вектора робить такі ПЛ-елементи програмованими на потрібну функцію. Доведена
також функціональна повнота БПЛ [1],
тобто що будь-яка багатозначна обчислювальна система (БЗОС) може бути
реалізована лише за допомогою порогових функцій, а це дає можливість
представити чисто порогову реалізацію складних БЗОС. З іншого боку з позиції
«комбінаторного вибуху», БПЛ ніби не є цікавою. Адже лише 471 з 
двомісних функцій трійкової логіки
є пороговими, з 
двомісних функцій четвертиної логіки лише 18184 є
пороговим. А при розгляді функції трьох змінних двійкової логіки лише 104 (
40%) з них є пороговими, для трійкових функцій від усіх 
функцій лише 85629 є пороговими.
Відносне число багатозначних порогових функцій (БПФ) є незначним і зменшується
з значністю і ростом кількості змінних, але тим не менш абсолютне число таких
функцій достатньо велике, що є добрим стимулом, з урахуванням функціональної
повноти, пошуку класу задач, де БПЛ дасть переваги.
Одним з яскравих прикладів ефективного застосування БПЛ – це реалізація р-значного (р=3) повного суматора (на основі тільки двох порогових
елементів [1]). Але для порогового кодування використовувалися в основному лише
електронні реалізації, наприклад, 
– пороговий детектор для реалізації 4-х рівневої логіки [1].
Перспективи, що відкриваються оптичними, оптоелектронними чи електрооптичними
методами та обчислюваннями і їх елементною базою тормозяться тим, що відомі
оптичні бістабільні елементи та структури (в ідеалі перемикальний прилад з
передатною характеристикою у вигляді «сходинок») мають ряд суттєвих недоліків
(великі оптичні потужності чи нестабільність, розкид параметрів, тощо), які
унеможливлюють просту реалізацію усіх потрібних ( навіть з не від’ємними
порогами та коефіцієнтами) операцій, включно з квантуванням та розрізненням
рівнів. Тому пошук вдалих реалізацій БПЛ на мікроелектронній базі є актуальним
в поєднанні з оптичними варіантами вирішення проблем міжз’єднань. Додатковим
стимулом для цього є те, що реалізацію БПЛ можна здійснювати з використанням
так званого мультилінійного розкиду, тобто представлення БПФ шляхом розкладу по
двійкових допоміжних лінійнороздільних (ЛР) функціях 
, які є до того ж пороговими.
Функція 
є мультилінійнороздільною (ММР),
якщо існує мультимножина
,така що:
МР-функція
є монотонною мультилінійнороздільною
(ММР), якщо для всіх величин Х в 
справедливо:
Важливим є те, що f є пороговою функцією, якщо вся множина ( кількість) 
допоміжних функцій для ММР-функції є ізобаричними функціями
(ізобарами), тобто ЛР – функціями з однаковими ваговими коефіцієнтами. З точки
зору геометрії функція 
є ММР, якщо існує множина необов’язково паралельних n-вимірних гіперплощин, що відділяють 
, 
. Зауважимо, в роботі [1] також показано,
що в трійковій логіці існує 703 двомісних ММР – функцій та 532485 трьохмісних
ММР - функцій, а в четвертній логіці існує 61160 двомісних ММР – функцій. Це
означає суттєве покращення ситуації в порівнянні з відповідним числом порогових
функцій по мірі збільшення числа аргументів.
Відомі також наступні леми [2] :
Якщо 
є ММР–функцією, то
функції, отримані перестановкою чи доповненням аргументів в f чи
доповненням f, також є ММР –функціями.
З формул (1) та (2) стає зрозуміле, що
реалізація p-значних МР-функцій (що включає
порогові функції) зводиться до (р-1) рівневих ЛР-функцій, які є просто
двійковими пороговими функціями, але з р-значними аргументами. Але оскільки
р-значний аргумент може бути представлений, наприклад, 
двійковими розрядами, то будь-яку ЛР-функцію від m р-значних аргументів можна представити
ЛР-функцією від (m
k) двозначних (двійкових) аргументів.
Двійкове порогове кодування має багато адекватних оптоелектронних, оптичних
реалізацій [2,3], а тому з урахуванням всіх вищеозначених факторів можна
запропонувати принципи реалізації загальної структури МР-функцій. Вони будуть
базуватись на використанні універсальних логічних елементів двійкової логіки
від m
k аргументів. Такі картинні елементи
матричної двозначної логіки (МДЛ) були запропоновані в роботі [4]. Але вони мають суттєвий недолік, який полягає в збільшенні часу виконання
операції МДЛ при збільшені кількості аргументів, оскільки в них
використовується як проміжне часоімпульсне кодування . При типових значеннях
модулів 
в СЗК-процесах [5], наприклад, 
, кількість входів в УКЕ МДЛ буде при m=2 становити не менше 10. А це означає, що
і є неприйнятним. Але якщо 
це час затримки оптичного сигналу, то навіть при множенні на
коефіцієнт 
загальний час обробки не буде перевищувати 1 наносекунду. Тому
треба шукати нові підходи створення універсальних КЕ МДЛ. Один з підходів
полягає у використанні просторового кодування, що для оптики є більш зручним.
Але значна кількість термів і аргументів, ситуацій, що розпізнаються, при
відповідних навіть амплітудних дворівневих кодуваннях потребує значного
сумарного динамічного діапазону та юстировки
і зменшення технологічних розкидів параметрів.
Поява напівпровідникових лазерів з керованою довжиною хвилі
випромінювання та високоефективних
фільтрів дозволяє перейти до використання, на наш погляд, найбільш оптимального
спектрального кодування, з урахуванням більшості вимог та аспектів при розробці
УКЕ МДЛ чи УКЕ МБЛ. Суть цього підходу полягає в тому, що оптичний імпульс,
згенерований лазерним діодом з відповідною потужністю 
та необхідною 
довжиною хвилі, проходить через p просторових оптичних фільтрів і появляється
лише на виході одного фільтра, а аналогічний імпульс з 
довжиною хвилі відповідно до другої змінної появляється на одному
з виходів іншої сукупності з p аналогічних фільтрів. Це дозволяє при використанні
порогового фотоелемента (поріг 
) перетворювати кожен набір вхідних змінних аргументів в
однозначну просторову координату. Потім цій розпізнаній таким чином координаті
(x,y) є 
ставиться у відповідність (включається виходом з порогового
фотоелемента лазерний діод з потрібною 
) вихідна довжина хвилі 
у відповідності з таблицею істинності. Це дозволяє застосувати
оптично керовані транспаранти (ОКТ), просторові модулятори світла (ПМС) та
оптичні фіксовані фільтри , що вибираються по таблиці істинності для f(x, y) з множини можливих або лазерні діоди
з перестроюваною довжиною хвилі. Можливі варіанти реалізації таких УКЕ МБзЛ
будуть обговорюватись надалі, тут ми лише окреслили принципи і підходи до
побудови обчислювальних систем (ОС) багатозначної логіки (БзЛ), суть яких
звелась по потреби розпізнавання підмножин (областей) з точок в n-вимірному кубі, на які ділиться куб, і які відповідають
заданому значенню 
Іншими словами, для формування
будь-якої потрібної перемикальної функції БзЛ потрібно виконати (розділити)
класифікацію всіх можливих векторів чи значень аргументів, що задють точки в n-кубі, на p класів, а кожному класу (підмножині
точок) необхідно поставити у відповідність потрібне значення, зв’язане з
номером, індексом класу. Цей висновок дозволяє стверджувати, що побудувати ОС
БзЛ можна і на основі тризначних нейронних мереж [6], але це потребує нових теоретичних
фундаментальних і практичних досліджень, які виходять за межі даної роботи.
Відмітимо тут лише той факт, що для вищевказаного підходу нам необхідно
застосувати такі ШНМ, в яких ємність перевищує кількість нейронів [7].
Теоретичним підґрунтям при виборі
шляхів побудови ОС БзЛ повинні стати і нижчевказані відомості стосовно так
званого «узагальненого» розділення, схожого з мультилінійними роздільними
функціями.
Нехай 
[1]. Визначимо мультимножину наступним
чином:
Визначимо 
Якщо для всіх 
виконується
,
тоді
можна стверджувати, що f визначається за допомогою «узагальненого» розділення, де Г– замкнена форма
визначених парних поєднальних процедур. З геометричної точки зору це дозволяє
використовувати для поділу (розділення) точок гіперкуба 
не гіперплощини, а
гіперповерхні. Останні розділяють деяку підмножину 
(чи від 
(ν-1)),
Квадратичне чи інше нелінійне
розділення функції (гіперповерхнями) краще підходить до реалізації на основі
нелінійних модуляторів світла [5]. Використання нелінійних перетворень
аргументів, тобто нелінійної передобробки перед розділенням, полегшує підбір
гіперплощин чи МР-функцій.
Ще один з перспективних напрямів
побудови ОС БзЛ полягає в застосуванні багатопорогових компараторів [8], що описуються функцією 
та набором порогів (пороговим вектором 
) таким, що:
де 
,
– пара відповідних l-ому діапазону носія порогів: нижнього 
та верхнього 
Такі багатопорогові компаратори
можуть називатися і селекторами
по рівню. До цієї функції f(ν)
визначимо доповню вальну функцію 
Зауважимо,що цей підхід все-таки сильно
залежить від складності та реальних можливостей ефективної оптоелектронної апаратної
реалізації таких багатопорогових компараторів, в тому числі на основі
відзеркалювачів струму (ВС) з фотодіодами на вході [8]. В роботі [9] показано, що на даних відзеркалювачах
фотострумів можуть реалізуватися не лише базисні функціонально повні, але всі
функції двійкової логіки, а в роботі [10] наведені результати, що показують
можливості такої схемотехніки на ВС реалізувати низку відомих базисних
(мінімум, максимум) та узагальнених операцій (еквівалентності,
нееквівалентності) аналогової нейробіологіки. Тому подальші дослідження в цьому
напряму і розробка методів синтезу таких багатопорогових
компараторів-селекторів при різних видах кодування аргументів, змінних
(просторовому, амплітудному, фазовому, спектральному тощо) є доцільними.
На завершення короткого огляду
теоретичного базису для вибору принципів побудови ОС БзЛ та їх базисних
елементів, наприклад універсальних функцій, МР-функцій, чи множини елементарних
логічних функцій, що складають функціонально повну (чи слабко повну) систему в
БзЛ, нагадаємо, що відомі такі повні системи:
1)
система Россера
- Тьюнетта: 
, де 
- символи операцій min (
) та max (
);
а 
– характеристичні
функції;
2)
система Поста: 
, що складається з операцій
узагальненої диз’юнкції (max) та цикла 
, що визначається як 
3)
система Вебба,
що складається з однієї операції Вебба ( 
;
та неповна
система: 
, де (
) – так
зване
доповнення
, a (
) та (
) – операції
взяття max та min, що
відповідає
алгебрі
Кліні [11], структура
якої
простіша, ніж
асоційовані
з
вищевказаними
системами
алгебри
Россера – Тьюнетта, Поста, Вебба, а
тому
і
є
ширше
використовуваною.
Аналіз цих відомостей показує, що
наявність набору констант 
, що робить слабко повні системи повними, та операцій: 
дозволяє реалізувати по суті всі відомі повні системи та алгебри.
Реалізація операції (
) оптичними методами зводиться по суті
до простих дзеркальних відображень, операції (
) до зміщень по рівнях, операція (
) чи (
) з урахуванням законів де Моргана та при наявності операції
(
) зводиться відповідно до (
) чи (
), а тому є потреба в одній з них, і вони успішно
реалізуються ММР-функцією або через операцію обмеженої різниці аналогової логіки [10],
крім того, операція 
включає в себе по
суті операції (
,
) з системи Поста,
про реалізацію яких вище вже зазначалось.
Окремі специфічні особливості дає
використання в БзЛ як основи числення простих p чисел, оскільки відомо, що операції
додавання та множення по модулю p тоді утворюють поле, і існує можливість будь-яку
перемикальну функцію одної чи двох і більше змінних представити поліномами у
вигляді:
де 
Крім того, оскільки на основі теореми
Ферма операція множення за модулем для простого p може бути зведена до операції додавання за модулем (р-1) степенів твірної,
приходимо до висновку, що система операцій додавання та множення за модулем р,
чи навіть одна операція додавання, але за модулем р та (р-1) є слабко функціонально
повними. А тому доповнення їх набором констант 
робить їх повністю повними функціонально. Таким чином, треба
шукати такі принципи побудови елементів БзЛ, а особливо матричної
багатозначної, які базуються на операціях додавання за модулем, причому
незалежні від значень модуля, бо модулі 
можуть бути різними. Операції простого алгебраїчного додавання та
множення сигналів легко відображаються та реалізуються оптичною та
оптоелектронною елементною базою, враховуючи різні фізичні ефекти, що можуть
бути використані для цього. Відомо також, що для реалізації операцій за модулем
використовуються аналогові періодичні явища в оптиці такі як часова чи
просторовофазова модуляція, дискретні зміни поляризації, тощо. Особливої уваги заслуговують
методи пасивних просторових карт, голографічних таблиць перекодування, на
основі оптичних дефлекторів та пристроїв перемикання променів, методи
кореляційної обробки та розпізнання, методи з використанням електрооптичних
хвилеводних перемикачів [2,5,12]. Прикладами такого застосування оптичних
методів для реалізації вищевказаних операцій за модулем є роботи [13,14,15] та
багато інших.
Висновки: Огляд теоретичного базису при виборі шляхів та принципів
побудови обчислювальних систем багатозначної логіки показав, що треба
зосередити увагу:
1)
на розробці
підходящої до оптоелектронних реалізацій узагальненої структури, що реалізує
МР-функції;
2)
на подальшому
більш ефективному, особливо при значній кількості змінних, оптоелектронному
варіанті з новими типами кодувань (спектральному, фазовому, поляризаційному)
побудови загальної структури універсальних матричних елементів двозначної
логіки;
3)
на дослідженні
можливостей використання нейронних мереж та їх оптоелектронних, оптичних
реалізацій для побудови узагальнених структур обчислювальних систем
багатозначної логіки та їх базових універсальних чи квазіуніверсальних
функціональних елементів, що реалізують операції повних систем;
4)
на дослідженні
можливостей ефективних реалізацій засобами оптоелектроніки та оптики «узагальненого»
розділення функцій, МР та ММР-функцій з використанням переобробки та нелінійних
перетворень аргументів;
5)
на дослідженні
методів синтезу, проектування багатопорогових компараторів, селекторів,
дискримінаторів; пошуку нових їх ефективних реалізацій оптоелектронними
засобами в тому числі на відзеркалювачах струму;
6)
створенні
нового математичного апарату для опису таких багаторівневих, багатозначних
селекторів за зв’язків з іншими відомими математичними модулями, алгебрами та
структурами; математичного апарату нейробіологіки, алгебр багатозначної
неперервної логіки;
7)
на дослідженні
можливостей створення універсальних з швидким настроюванням елементів не лише
скалярної багатозначної та матричної багатозначної логіки, але й неперервних,
нейронних, гібридних логік, узагальнених на матричний випадок [16,17].
ЛІТЕРАТУРА
1.
Кук Д., Бейз Г.
Комп’ютерна математика. Пер. с анг. – М.:Наука, 1991.
2.
Коннер М.,
Эйхманн Д. Многозначная логика в оптических вычислениях . – М.:Наука, 1997, с.113-139.
3.
Морага К. Многозначная пороговая логика. – М.:Наука, 1997, с.162-181.
4.
Красиленко
В.Г., Дубчак В.М., Кожемяко В.П. Универсальные оптоэлектронные логически устройства картинного типа.// Оптоэлектронные методы и средства обработки
информации. Материалы НТК. – Винница, 1988, с.33-35.
5.
Акаев А.А, Майоров С.А. Оптические методы обработки информации. – М.: Высш. школа, 1988. –
237 с.
6.
Krasilenko V.G et al. ” Optical pattern recognition algorithms based on
neutrol – logic equivalental models and demonstrations of their prospectiveness
and possible implementations”, Proc. SPIE, Vol.4387, pp. 247-260, 2001.
7.
Красиленко В.Г.
та ін. Демонстрація адекватності еквівалентністних моделей нейронних мереж з
адаптивнокореляційним корегуванням матриці зв’язків.// Вимірювальна та
обчислювальна техніка в технологічних процесах. – 2000, - №4, - с.119-122.
8.
Красиленко В.Г.
та ін. Багатопорогові компаратори з синхроннокерованим регулюванням порогів.
Матеріали міжн. конференції «Dynamika naykowych badan – 2007”, Том. 8. Технічні науки.: Przemysl. Nauka i studia. – c.55-58.
9.
Krasilenko V.G et al.Desing and applications of a family of
optoelectronic photocurrent logical elements on the basis of current mirror and
comparators. Proc. SPIE, Vol. 5948. - 2005. - pp. 426-435.
10.
Красиленко
В.Г., Нікольський О.І., Лазарєв О.О. Вдосконалення схем для реалізації
узагальнених операцій еквівалентності (нееквівалентності) нейробіологіки://
Вісник Хмельницького національного університету. – 2009, - №2 – с.174-178.
11.
Шимбирєв П.Н. Гибридные непрерывно-логические устройства. – М.: Энергоатомиздат. – 1990. – 174 с.
12.
Пространственные модуляторы света //А.А. Васильєв, Д. Касасент, И.Н.
Компанец, А.В. Парфенов. – М.: Радио и связь, 1987. – 320 с.
13.
Красиленко В.Г.
и др. Оптоэлектронное модульное устройство для паралельного сложения оптических цифрових изображений в системе остаточных классов. А. с. СССР.№1751783. – 1992. – БИ№28.
14.
Красиленко В.Г.
та ін. Оптоелектронні структури матриць однорозрядних просесорів четверичної
знакорозрядної арифметики. Збірник праць міжн. симпозіума, м.Вінниця – Кам’янець- Подільський, 2003. – с. 218-232.
15.
Krasilenko V.G et al. Smart time-pulse coding photoconverters as basic
components 2D-array logic devices for advanced neural networks and optical
computers. Proc. SPIE, Vol. 5439, - 2004. – pp. 198-209.
16.
Красиленко
В.Г., Магас А.Т. Основи проектування багатофункціональних пристроїв матричної
багатозначної логіки з швидким програмованим настроюванням. // Вимірювальна та
обчислювальна техніка в технологічних процесах. - №4. – 1999. – с.113-121.
17.
Krasilenko V.G et al. The concept of biologically motivated time-pulse
information processing for design and construction of multifunctional devices
of neural logic. // Proc. SPIE, Vol. 5421, - 2004. – pp. 183-194.