Родина Ю.В.,

Силенко В.Е., асистент кафедры высшей и прикладной математики

Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Івановича Туган-Барановского

Использование MS Excel для матричных вычислений

Любому специалисту в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Потому для специалиста-нематематика наиболее важным является практический аспект математики. Для него эта прикладная наука, близкая к технологии. Здесь наиболее важным является умение провести необходимые вычисления. Математическая теория изменяется сравнительно медленно. Использование компьютера при проведении расчётов сдвигает акценты в математической подготовке специалиста. Если раньше основное внимание было сосредоточено на математических методах, которые предусматривали проведение расчётов вручную, то теперь, с появлением специализированных математических программ, необходимо научиться проводить требуемые вычисления на компьютере.

Средства MS Excel очень полезны в линейной алгебре, прежде всего для осуществления операций с матрицами и решения систем линейных уравнений.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме.

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими. Способов вычислений существует также несколько. Например, вычисления с помощью MS Excel.

Одной из операций является операция транспонирования. Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот. Данная функция будет иметь вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т.д.

Одной из важных характеристик квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД. Функция имеет вид МОПРЕД (массив). В этом случае массив – это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например А1:С3; или как массив констант, например, (1;2;3;4;5;6;7;8;9). Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3*3), определитель вычисляется следующим образом:

Для нахождения обратной матрицы в MS Excel используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящей в таблице в виде массива. Функция имеет вид МОБР (массив). Здесь массив – это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:С3; как массив констант, например (1;2;3;4;5;6;7;8;9) или как имя диапазона или массива.

В MS Excel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Например, пусть, как и в предыдущем параграфе матрица А введена в диапазоны А1:С2. Необходимо получить матрицу С=3*А

Решение

1. Табличный курсор поставьте в левый верхний угол результирующей матрицы, например в Е1.

2. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = 3*А1

3. Скопируйте введённую формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: поставьте табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки G1; таким же образом протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженную на постоянную «3».

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведения матриц (матрицы хранятся в массивах). Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1;массив2). Здесь массив1 и массив2 – это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом: С=(), где i - номер строки, а j – номер столбца.

Рассмотрим пример умножения матриц.

Пусть матрица А введена в диапазон A1:D3, а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С.

Решение

1. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется найти размер матрицы-произведения. Её размерность будет m*p, в данном примере 3*2. Например, выделите блок ячеек F1:G3.

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МУМНОЖ. После этого щёлкните на кнопке ОК.

4. Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон исходной матрицы А – А1:D3 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7 введите в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

5.Если произведение матриц А*В не появилось в диапазоне F1:G3, то следует щёлкнуть указателем мыши в строке формул и ещё раз нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Использование Excel для матричных вычислений очень удобно и необходимо, а соответственно такому методу расчёта матриц необходимо обучать студента, с целью расширения общего представления о подходах к реализации вычислительных операций над матрицами.

Литература:

1.Решение математических задач средствами Excel: Практикум / В.Я. Гельман – СПб.: Питер, 2003. – 240 с. Ил.

2. Гельман В.Е. Практикум по математике на компьютере СПб.: СПИГ,2001

3. Экономическая информатика / Ред. П.В. Конюховский, Д.Н. Колесов, СПб: Питер,2000.