Спинжа А., Научный руководитель: Силенко В. Е.(Украина)

Донецкий национальный университет экономики и торговли имени М. Туган- Барановского

ИССКУСТВО И НАУКА СЧЕТА

Счет – это такой простой и привычный с детства процесс, что приходится удивляться, сколько интересных, важных и сложных задач с ним связано. Целью моей работы является иллюстрация того, сколь типично для задач подсчета привлечение самых разнообразных понятий, идей и методов.

Задачи подсчета могут быть элементарно простыми и необычайно сложными. Чтобы показать всю интересность счета, я обращусь к задачам. Рассмотрим задачу о том, сколькими различными способами можно разменять доллар, т.е. сколько различных решений имеет уравнение:

100 = l₁ + 5l_{2 +} 10l₃ + 25l₄ + 50l₅,

где под «решением» мы понимаем пятерку неотрицательных целых чисел ( l₁, l₂, l₃, l₄, l₅). Здесь l_{1 –} число монет в один цент, l₂ - число никелей, l₃- число даймов и т.д. В США находятся в обращении следующие монеты: 1 цент, 1 никель=5 центов, 1 полудоллар=50 центов, 1 доллар=100 центов.

Попытка просто перечислить все различные возможности очень скоро обескураживает, поскольку мы убеждаемся в почти полной ее безнадежности.

Перефразируем нашу задачу. Рассмотрим ряды

1 + x + x² + x³ + … ,

1 + x ⁵+ x¹⁰ + x¹⁵ + … ,

1 + x¹⁰ + x²⁰ + x³⁰ + … ,

1 + x²⁵ + x⁵⁰ + x⁷⁵ + … ,

1 + x⁵⁰ + x¹⁰⁰ + x¹⁵⁰ + … ,

Где показатели степени в первом ряде – целые числа, кратные 1, во втором – числа, кратные 5, и т.д.

Перемножив эти ряды формально, мы получим ряд вида

1 + А₁x + А₂x² + А₃x³ + …;

можно показать, что А_m есть число различных способов, которыми можно представить число m в виде l₁ + 5l_{2 +} 10l₃ + 25l₄ + 50l₅. В частности, А₁₀₀ -искомое число различных способов образовать сумму в один доллар из более мелких монет.

Заметим, что каждый из рядов представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии. Поэтому их произведение равно (формально)

Заметим, что число монет в 1 цент должно делиться на 5; следовательно, число способов размена доллара А₁₀₀ равно

В₁₀₀+В₉₅+В₉₀+ … +В₅+В₀,

где В_m-число решений уравнения

m = k₁5+k₂10+k₃25+k₄50,

или, что эквивалентно, число решений (в неотрицательных целых числах) уравнения

m/5 =k₁+2k₂+5k₃+10k₄

(ведь все m делятся на 5). Отсюда следует, что А₁₀₀ равняется сумме коэффициентов при членах

x⁰ =1, x, x², …, x¹⁹, x²⁰

в произведении

(1+x+x²+ … ) (1+x²+x⁴+ … )(1+x⁵+x¹⁰+ … )(1+x¹⁰+x²⁰+ … ) =

Как мы уже видели,

Таким образом,

(1+x+x²+ … )(1+x²+x⁴+ … )(1+x⁵+x¹⁰+ … )(1+x¹⁰+x²⁰+ … ) =

=(1+x+2x²+2x³+3x⁴+3x⁵+ … )(1+x⁵+2x¹⁰+2x¹⁵+3x²⁰+ … ).

Выполняя умножение и складывая коэффициенты при степенях x от нулевой до 20-й включительно, мы, изрядно потрудившись, получим в ответе 292. Итак, существует 292 различных способа разменять доллар.

Идея использовать для подсчета степенные ряды (т.е. ряды вида а₀+а₁х+а₂х²+ … - так сказать, многочлены бесконечной длины) оказалась крайне плодотворной.

Решая задачу о размене доллара, мы воспользовались специальными свойствами монетной системы США. Например, мы знали, что достоинство любой монеты, кроме цента, делится на 5, и что дайм вдвое ценнее никеля, а полудоллар - квартера. Разумное обращение с такими случайными свойствами позволило нам во всей полноте использовать делимость целых чисел, сэкономив тем самым часть труда. Но можно было бы еще больше углубиться в решение и еще шире раскрыть общность и мощность метода.

Итак, на примере этой задачи, мы убедились, что рядом с заданиями, представляющими собой не более чем легко разрешимые головоломки, могут возникать по-настоящему трудные и сложные задачи. Но зная различные законы, методы и понятия, даже очень сложное задание может превратиться в простое уравнение или неравенство. Счет-это очень загадочный и интересный процесс, который играет очень важную роль в жизни человека, в экономике, в математике и т.д. Нужно развивать свои знания о счете и о методах решения задач подсчета -этой статьей, я показала, что в этой теме есть очень много интересных и увлекательных моментов, которым стоит уделить внимание.