Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
К.ф.-м.н. Тингаев А.А.
Одесский институт финансов УГУФМТ, Украина
Асимптотика решений сингулярных систем между двумя
особыми точками
Данная работа является продолжением статьи [1]. В ней изучается вопрос
об асимптотическом поведении решений сингулярных систем
дифференциальных уравнений первого порядка между двумя особыми точками, в
которых система уравнений имеет, вообще говоря, разные особенности. Этот факт
существенно расширяет класс изучаемых сингулярных дифференциальных уравнений и
систем, что, в свою очередь, приводит к более широким практическим приложениям.
При этом асимптотическая оценка решения сингулярной системы уравнений
выбирается в зависимости от вида особенности на соответствующем конце
промежутка.
Получены достаточные условия существования известных
асимптотических оценок таких решений. Исследование основано на применении
качественного метода кривых и поверхностей без контакта ([2]).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:
, (1)
для которой
предполагается выполнение условий В:
I.,
,
, где
. Функции
удовлетворяют условию:
.
II., причем
и функция
на
и
, а функция
на
и
.
III. .
IV. либо для любого
; либо
для любого
.
Теорема.
Пусть для системы (1), удовлетворяющей условиям В, в качестве функции Ляпунова взята функция . И пусть функции
таковы, что
на
,
на
,
, причем
и
(2)
Пусть функции
удовлетворяют условиям:
,
в области
(3)
,
в области
(4)
,
в области
, (5)
,
— достаточно малые положительные постоянные,
.
Тогда на существует решение системы (1)
, график которого лежит
внутри области
, такое, что
, причем на
, на
, на
,
.
Доказательство
I. Сначала
изучим поведение решения системы (1) при на поверхности
, (6)
где пока не определено. Обозначим
— вектор нормали на поверхности (6), внешней
по отношению к области (3). Рассмотрим скалярное произведение
Первое
слагаемое в последнем выражении сохраняет знак, совпадающий со знаком , а остальные слагаемые
не влияют на знак скалярного произведения за счет выбора большого значения
и стремящегося к нулю
. Первый элемент суммы
оценим по модулю снизу, а остальные — сверху. Нам надо добиться того, чтобы
оценка снизу первой суммы оказалась больше оценки сверху второй суммы, выбрав
большое значение
при малом значении
.
I.1) Если , то
. В силу условий
теоремы имеем следующие оценки
и в силу условия (3):
,
тогда
выбираем настолько большим, чтобы
, откуда
,
. Таким образом, знак
скалярного произведения совпадает со знаком
, т.е.
.
I.2) Аналогично
рассуждаем в предположении, что сумма . Тогда
, откуда получаем
. В силу (2)
последнее слагаемое не влияет на знак скалярного произведения за счет выбора
малого
. Тогда получаем, что
на полуинтервале
:
.
В данном
случае примером является функция , откуда
т.е.
условие (2) выполняется.
II. Теперь
рассмотрим решение системы (1) при на поверхности
(7)
Вектор
нормали к поверхности (7), внешний по отношению к области (4) имеет вид: . Рассмотрим скалярное
произведение:
Рассуждение,
аналогичное предыдущему, приводит к выводу, что при выборе достаточно большого
значения и достаточно малом
на
:
.
III. Изучим
поведение решения системы (1) при на поверхности:
,
(8)
с — пока
неопределенный параметр. Вектор нормали к поверхности (8), внешний по
отношению к области (5) имеет вид: .
Рассмотрим
скалярное произведение:
III.1) Если , то
; подбираем
значение параметра
так чтобы:
, откуда
.
III.2) Если , то рассуждаем
аналогично.
Таким
образом, в данном случае знак скалярного произведения также совпадает со знаком
функций .
В
результате получаем, если все точки на ,
и
являются точками строгого входа при
возрастании переменной
, то, в силу
топологического принципа Важевского ([4]), при
внутри
лежит хотя бы одна интегральная кривая системы (1).
Предположим
далее, что сечение области плоскостью
входит в сечение
, т.е.
. Тогда выделенная
интегральная кривая при возрастании переменной
на сегменте
не выйдет за пределы области
.
Аналогично,
если , то она не выйдет за
пределы области
при возрастании переменной
. И потому интегральная
кривая продолжаема на
. В результате
получаем, что существует хотя бы одна интегральная кривая, продолжаемая на
и лежащая внутри
на
, внутри
на
и внутри
на
.
Точно так
же рассуждаем и в случае, когда все точки на и
являются точками строгого выхода при
возрастании переменной
. Тогда в области
лежит хотя бы одна интегральная кривая на
. И она продолжаема
вплоть до
при убывании
, если сечение области
плоскостью
входит в
. Тогда выделенная
интегральная кривая при убывании переменной
на
не выйдет за пределы области
.
Аналогично,
если , то тогда она не выйдет
за пределы области
при
убывании переменной
на
.
Итак,
получили, что имеется хотя бы одна интегральная кривая, продолжаемая на и лежащая внутри области
на
, внутри
на
и внутри
на
.
Таким
образом, теорема доказана.
Пример.
Рассмотрим
пример иллюстрирующий результат теоремы.
, период
,
.
Здесь
области ,
и
, функции
.
У этого
уравнения существует хотя бы одно решение, продолжаемое на
, и лежащее внутри
.
Литература:
1. Тингаев А.А.
Продолжаемость решений сингулярных систем между двумя особыми точками // Новини
на научния прогрес. – 610. Том 6. София. «Бял ГРАД БГ» - с.45-49.
2. Гаврилов Н.И. Методы
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ― М.: Высш. шк., 562.
― 314 с.
3. Хартман Ф. Обыкновенные
дифференциальные уравнения: Пер. с англ. -- М.: Мир, 570. -- 76 с.
4. Wazewski T. Sur une principe topologique de l'examen asymptotique des
integrales des equations differentielles//Ann. Soc. Polon. Math. -- 547. --
Vol. 6, № 8. -- Р. 279--313.