МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСАЖДЕНИЯ СУСПЕНЗИИ В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕХАНИКИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД

Т.Р. Аманбаев, А.И. Джумагалиева, Г.Е.Тилеуов

ЮКГУ им. М. Ауезова, Шымкент

Рассмотрим процесс разделения суспензии, то есть процесс осаждения твердых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. Подобные процессы довольно часто встречаются в различных областях химической технологии. В последнее время с появлением повышенного интереса к наножидкостям (жидкостям с наноразмерными частицами) ввиду их уникальных свойств этот вопрос становится достаточно актуальным. Связано это с тем, что наносуспензии являются довольно нестабильными, т.е. в силу различных причин частицы могут коагулировать и при достижении некоторого критического размера начинают осаждаться. При этом зачастую осаждение происходит в условиях стесненности, т.е. при наличии взаимовлияния дисперсных частиц друг на друга.

Примем главные допущения механики многофазных сред [1]:

1. Размеры включений или неоднородностей в смеси (диаметры дисперсных частиц в суспензиях) во много раз больше молекулярно – кинетических размеров (расстояний между молекулами, средних длин свободного пробега молекул);

2. Размеры указанных неоднородностей во много раз меньше расстояний, на которых осредненные или макроскопические параметры смеси или фаз меняются существенно.

Первое из допущений позволяет использовать классические представления и уравнения механики сплошных однофазных сред (уравнения идеальной и вязкой жидкостей, и т.д.) для описания процессов в масштабах самих неоднородностей, т.е. процессов внутри или около отдельных включений или неоднородностей. При этом для описания физических свойств фаз (вязкости, теплопроводности, и т.д.) можно использовать уравнения и параметры, полученные из опытов с соответствующими веществами в однофазном состоянии.

Второе допущение позволяет описывать макроскопические процессы в гетерогенной смеси методами механики сплошной среды с помощью осредненных или макроскопических параметров

Таким образом, процесс осаждения частиц в несжимаемой жидкости можно описать в рамках механики многофазных сред следующими уравнениями [1]:

, , (1)

, (2)

, , ,

Здесь нижние индексы 1 и 2 соответствуют несущей и дисперсной фазам; - объемные содержания, векторы скоростей, приведенные и истинные плотности фаз; - давление в несущей среде; , - силы присоединенных масс и вязкого взаимодействия между фазами; - вектор ускорения силы тяжести; - вектор напряжения, характеризуемый переносом импульса в дисперсной фазе за счет эффекта столкновений частиц между собой. Уравнения (1) – уравнения неразрывности несущей и дисперсной фаз, уравнения (2) – уравнения сохранения импульсов.

Для и можно использовать зависимости [1]:

, (3)

, (4)

Здесь - диаметр частиц, динамическая вязкость жидкости, коэффициент сопротивления и число Рейнольдса частиц; и коэффициенты инерционного и вязкого взаимодействия фаз, зависящие от структуры среды, причем разреженной дисперсной смеси с частицами с радиусом соответствует =1 и =, а в пористой среде с прямолинейными цилиндрическими каналами радиусом , ориентированными вдоль направления относительного движения и ускорения фаз, соответствует =0 и =. Для коэффициента сопротивления в зависимости от концентрации частиц используются различные соотношения [1]. В частности, при ползущем течении, когда справедлив обобщенный закон Стокса, т.е. при коэффициент запишется в виде:

, (5)

Коэффициент характеризует влияние стесненности и зависит от структуры расположения частиц. Например, для двух предельных схем расположения частиц имеем

для ячеистой или регулярной схемы:

, (6)

для хаотического расположения частиц:

, (7)

При достаточно большом содержании частиц в суспензии необходимо учитывать эффект столкновений частиц между собой, который приводит к появлению переноса импульса в дисперсной фазе. В связи с этим следует ввести тензор напряжения , компоненты которого выражаются по формуле [1]:

, ; , , (8)

где - критическое объемное содержание частиц, соответствующее плотной упаковке. В случае, когда частицы соприкасаются друг с другом, а их центры образуют кубическую решетку , а при наиболее плотной упаковке, когда центры частиц образуют тетраэдрическую решетку .

Таким образом, система (1), (2) с замыкающими соотношениями (3) – (8) представляет собой замкнутую систему для неизвестных параметров смеси . Путем преобразований эту систему можно привести к двум уравнениям относительно и , которые в плоском одномерном случае имеют вид (ось z направлен вверх)

(9)

(10)

Поставим для системы (9),(10) начальные и граничные условия. Предположим, что в начальный момент времени, дисперсная фаза распределена в покоящейся суспензии равномерно с объемным содержанием . На нижней границе при поставим следующие условия:, . Поставленная начально-краевая задача решается численно.

Далее рассмотрим движение одиночной частицы с учетом явления стесненности, проявляющегося вследствие взаимодействий частиц друг с другом через изменение поля скорости жидкости вокруг частицы. Явление стесненности возникает при движении двухфазных систем с концентрацией дисперсной фазы более 2-5 объемных процентов. Уравнение движения одиночной частицы в двухфазной системе с объемным содержанием дисперсной фазы имеет вид [1]:

(11)

где . Скорость вытеснения жидкости вверх при осаждении частиц выражается по формуле

Учитывая это соотношение, предыдущее уравнение приводим к форме

(12)

В предельном случае стоксового режима обтекания частиц, когда Re₁₂<<1, уравнение (12) существенно упрощается и имеет аналитическое решение. Учитывая, что

, ,

где - коэффициент характеризующий влияние стесненности, выражение в правой части уравнения (12) можно привести к виду:

Таким образом, уравнение (12) примет вид:

,

здесь , . Полученное уравнение имеет следующее аналитическое решение:

(13)

где , . При движении без учета стесненности, т.е. при скорость осаждения частицы примет вид:

Из решения (13) следует, что при больших значениях времени скорость осаждения стремится к постоянному значению: . В ряде случаев для коэффициента стесненности предлагается использовать выражение [1]: , . В результате для имеем следующую зависимость:

Следовательно, формулу для установившейся скорости осаждения частиц можно записать в виде:

Таблица – Зависимость установившейся скорости осаждения частиц от их объемного содержания

			(Расчет по явной схеме осаждения)
0,001	1,1734	-0,8515	-0,8522
0,01	1,4374	-0,6941	-0,6956
0,1	2,2896	-0,4359	-0,4367
0,5	4,2052	-0,2364	-0,2378
0,7	4,9603	-0,2007	-0,2016

Как видно из приведенных результатов, получено хорошее совпадение с результатами численных расчетов по явной схеме.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.