Строительство и архитектура/ 4. Современные строительные материалы

к.т.н. доц. Герасименко В.Г., ас. Близнюк Т.В., ст. Бутенко Н.В.

Автомобильно-дорожный институт

Государственное высшее учебное заведение

Донецкий Национальный Технический Университет, Украина

Изменение модели вязкости гудрона на основе

окисленных кварцитов

Характерная черта современного уровня развития научно-технического прогресса – интенсивное внедрение математизации. При решении различных производственных задач необходимо учитывать влияние случайных факторов, что вызывает необходимость применения вероятностных методов исследования.

Связь между случайными величинами появляется обычно тогда, когда имеются общие случайные факторы, влияющие как на одну, так и на другую величину, наряду с другими неодинаковыми для обеих величин случайными факторами.

В частности, стохастическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой: в этом случае стохастическую зависимость называют корреляционной [1]. Другими словами, зависимости, при которых каждому значению одного показателя могут соответствовать несколько значений другого, но в то же время изменения одного показателя вызывают закономерные изменения другого, называются корреляционными. Если изучается, например, зависимость случайных величин x, y и одному фиксированному x = y соответствует, вообще говоря, несколько значений переменной y, то корреляционной зависимостью y от x называют функциональную зависимость условной средней от x:

,

(1)

где - среднее арифметическое значений y, соответствующих значению

Х = х,

(2)

Уравнение (2) называют уравнением регрессии у на х, а её график - ли-нией регрессии у на х [1].

Для получения улучшенного гудрона, в него добавляли добавки (хвосты флотации) и проводили измерения вязкости. В таблице 1 приведены сведения о вязкости гудрона и добавок:

Таблица 1 – Показатели вязкости гудрона

Добавки (хвосты флотации)	Улучшенный гудрон
	гудрон		вязкость от добавок
	%	вязкость
10% неокисленных хвостов флотации	90	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	25,4 27,8 28,1 28,7 29,0
5% неокисленных хвостов флотации	95	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	31,9 32,4 32,8 34,1 34,7
3% неокисленных хвостов флотации	97	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	35,1 36,0 36,5 36,9 37,5
1% неокисленных хвостов флотации	99	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	37,2 38,0 40,0 40,8 41,4

Из таблицы 1 видно, что одним и те же добавкам соответствуют различные значения вязкости гудрона. Это говорит о том, что на вязкость влияют не только добавки (хвосты флотации), но и другие факторы [2, 4]. Однако даже беглый просмотр всей таблицы позволяет утверждать о наличии зависимости вязкости от внесённых добавок. Можно предположить также, обратившись к данному выше определению, что эта зависимость является корреляционной.

Прежде чем применить корреляционный анализ, необходимо предварительно выяснить связь между исследуемыми показателями. Связь между вязкостью улучшенного гудрона (В) и вложенными добавками флотации (Ф) на интервале 1-10% в первом приближении можно считать прямолинейной.

,

(3)

где , х = Ф.

Угловой коэффициент к прямой линии регрессии у на х принято обозначать , тогда формула (3) примет следующий вид:

.

(4)

Подберём и b так, чтобы точки (x_i, ), построенные по данным наблюдений, лежали как можно ближе к прямой (4), т.е. необходимо, чтобы функция

(5)

принимала наименьшее значение или, другими словами, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей [1].

Используя необходимые условия экстремума функции 2-х переменных:

(6)

откуда

(7) (8)

Для вычисления и по формулам (7) и (8) составим таблицу 2

Таблица 2 – Значения коэффициентов х и у

№ п/п
1	1	39,48	1	39,48
2	3	36,4	9	109,2
3	5	33,18	25	165,90
4	10	27,8	100	278
∑	19	136,86	135	592,58

Подставим данные таблицы в формулы (7) и (8), получим = -1,285 и = 40,313.

Значит, зависимость между вязкостью улучшенного гудрона (В) и вложенными добавками (Ф) следующая:

.

(9)

Из формулы (9) следует, что с ростом процентного содержания Ф, вязкость улучшенного гудрона уменьшается и достигает вязкости гудрона, среднее значение которой 19,3 (таблица 2), при Ф = 16,35%. Это означает, что добавки (хвосты флотации) не должны превышать 16,4% улучшенного гудрона, так как в противном случае его вязкость будет меньше вязкости гудрона.

Установим влияние добавки ( хвосты флотации) на изменение вязкости гудрона при 1%, 3%, 5% и 10% добавки. Для этого необходимо выбрать вязкость гудрона х и вязкость улучшенного гудрона у и сравнить эти две величины, т.е. найти z = y – x.

Сравниваемые величины являются случайными: как вязкость гудрона, так и вязкость улучшенного гудрона зависят от многих факторов. Обозначим эти величины α и β. Величина исследуемого эффекта равна М(γ) = М(β) – М(α) и требует определить, выполняется ли условие М(γ) ≥ а, где а – желаемая величина эффекта [3].

Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины γ с константой а. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:

а) по результатам измерений х_і и у_і найти константу а, которую М(γ) превосходит с заданной вероятностью (т.е. оценить величину исследуемого эффекта);

б) определить вероятность ρ₀ того, что М(γ) ≥ а.

Из таблицы следует, что, по существу, в каждом эксперименте измерялись сразу значения z_і = y_і – x_і одной случайной величины которую надо сравнивать с константой а. Обработку измерений в этом случае произведём по формуле:

(10)

Будем считать, что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента при учёте симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности ρ₁ выполняется условие:

(11)

Полагая, что , перепишем это выражение в следующем виде:

(12)

где - коэффициенты Стьюдента.

Для вычисления константы «а» составим таблицу 3.

Таблица 3 – Данные для вычисления константы

Добавляем хвосты флотации	Гудрон	Улучшенный гудрон	z = y - x	(zi - z)^2
	Вязкость х	Вязкость у
1	2	3	4	5
1%	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	37,2 38,0 40,0 40,8 41,4	22,1 21,1 21,2 19,6 16,9	3,666 0,846 1,04 0,336 10,758
	х = 19,3	у = 39,48	z = 20,18	16,666
3%	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	35,1 36,0 36,5 36,9 37,5	20 19,1 17,7 15,7 13	8,41 4 0,36 1,96 1,681
	х = 19,3	у = 36,4	z = 17,1	1,577
5%	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	31,8 32,4 32,8 34,1 34,7	16,8 15,5 14 12,9 10,2	8,526 2,624 0,014 0,96 13,542
	х = 19,3	у = 33,18	z = 13,88	1,283

Продолжение табл. 3

1	2	3	4	5
10%	15,1 16,9 18,8 21,2 24,5	25,4 27,8 28,1 28,7 29,0	10,3 10,9 9,3 7,5 4,5	3,24 5,76 0,64 1 16
	х = 19,3	у = 27,8	z = 8,5	1,332

Зададим вероятность Р₀ = 0,95. При этом 2 Р₀ – 1 = 0,9. Значение вычислим по таблице 3. Имеем (0,9; 5) = 2. По формуле 12 имеем:

При однопроцентной добавке (хвосты флотации) в гудрон a(1%) = 20,18 - - 2·16,666 < 0, т.е. с вероятностью 0,95 вязкость гудрона не увеличится. Выполнив аналогичные вычисления, получим, что с вероятностью 0,95 вязкость гудрона (при введении соответствующего количества добавки) увеличится на a(3%) = 13,946, a(5%) = 11,313, a(10%) = 5,836. Наибольший эффект достигается при введении 5% добавки.

Литература

1. Дрейпер Н. Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Пер. с англ. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 366с.

2. Грушко И.М. Дорожно-строительные материалы. Изд. 2 перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1991. – 360с.

3. Домокеев А.Г. Строительные материалы. Изд. 2 перераб. и доп. – М: Высшая школа, 2002. – 415с.

4. Учеб. пособие для строит. спец. вузов / И. А. Рыбьев. – 2-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 2004. – 701 с.