Математика/4. Прикладная
математика
Кушумбаева З.А.
Университет Манчестера, Великобритания
О конечно-разностном методе Эйлера и его
программной реализации
Дифференциальные уравнения, которые
возникают при решении вариационных задач, редко удается проинтегрировать. В
связи с этим возникает потребность приближенных методов решения этих задач.
Методы приближенного решения вариационных задач называют прямыми методами.
Основная идея прямых методов заключается
в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой
задачи на экстремум функции конечного числа переменных [1]. Эта задача на экстремум функции конечного числа
переменных решается обычными методами, а затем предельным переходом получается
решение соответствующей вариационной задачи. Очень хорошо изложен материал по
этим методам в [1].
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти
экстремум функционала
у(а)=А, у(b)=B. (1)
В методе Эйлера значения функционала (1) рассматриваются не на произвольных, допустимых в
данной вариационной задаче кривых, а лишь на ломанных, составленных из
заданного числа прямолинейных
звеньев, с заданными абсциссами вершин
где
На этих ломанных функционал превращается в
функцию ординат вершин ломанной.
Ординаты выбираются так, чтобы
функция достигала экстремума,
т.е. они определяются из системы
уравнений
, , … , . (2)
Полученная ломаная является приближенным решением
вариационной задачи (1) (см. рис. 1).
Рисунок 1. Ломаная
Эйлера.
Рассмотренный метод приближенного решения
вариационных, с помощью ломанных Эйлера представляет собой алгоритм численного
решения вариационной задачи с достаточно сложной системой уравнений. Особенно
трудоемки вычисления при большом числе звеньев ломанной. Для решения данной
проблемы, была поставлена задача, реализовать данный метод на ЭВМ, чтобы все
громоздкие вычисления выполняла машина.
В качестве примера приведем вычисление
функционала:
Решение данного функционала при будет выглядеть
следующим образом.
|
|
Решив данную задачу точным методом в Mathcad, получим следующее значение:
|
|
. |
|
|
Точное решение |
Приближенное решение |
-0,4444121 |
-0,44371121278612 |
Программа проста и удобна для пользователя и позволяет находить значения
при достаточно больших п, без
громоздких вычислений вручную.
1.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Вариационное исчисление. –
М.: высш. шк., 2003. с. 241.