Линейная задача терминального управления.
Институт
Энергетики Таджикистана
Тагайназаров
С.
1. Математическая модель. Пусть заданы: 1). динамическая система управления
(1)
2). класс доступных управлений, состоящий из кусочно-постоянных функций , стесненных ограничением .
3). терминальное множество в пространстве состояний
(2)
4). многогранный шар радиуса :
назовем -окрестностью терминального множества.
Предположим, что множество достижимости принадлежит конечной окрестности терминального множества (2): .
Линейная задача терминального управления в геометрической формулировке: среди точек множества найти такую , которая лежит в минимальной окрестности множества :
при (3)
В аналитической форме рассматриваемая задача имеет вид:
(4)
Поскольку в рассматриваемой задаче (4) нет терминальных ограничений, то любое доступное управление назовем допустимым управлением.
Минимальное число , при котором -окрестность терминального множества содержит состояние , порожденное допустимым управлением , назовем значением критерия качества задачи (4) на допустимом управлении .
Определение 1. Допустимое управление , будем называть оптимальным, если .
Определение 2. При заданном числа допустимое управление , называется -оптимальным, если оно удовлетворяет неравенству: .
1. Опора. Опорное управление. Пуст -произвольное подмножество множества . На отрезке выбираем конечное множество моментов . Введем множества . Количество элементов во введенных множествах подберем так, чтобы выполнялось равенство:
Рассмотрим два случая: 1). , 2). .
Сформируем множество
где -дополнительный индекс, соответствующий переменной .
Обозначим , я строка матрицы .
Построим матрицу , с блоками
Определение 3. Совокупность назовем опорной задачи, если невырождена опорная матрица .
Обозначим .
Определение 4. Пара из допустимого управления и опоры называется опорным управлением. Опорное управление назовем невырожденным, если :
1). Значения управления в опорные моменты некритические:
2). терминальное состояние , порожденное этим управлением, вместе с удовлетворяет неравенствам:
2. Формула приращения критерия качества. Пусть -опорное управления
Обозначим .
Наряду с допустимым управлением с и рассмотрим тройку , удовлетворяющую для выбранных равенствам
(2)
Найдем приращение критерия качества задачи (4) при переходе от опорного управления к управлению .
Обозначим ,
Теорема (критерия оптимальности). Для оптимальности допустимого управления , достаточно выполнения соотношений:
1) если -опора первого типа, то
при ; при ; при ; при ; при ; при ; при ; при ; при ; при ; при .
2) если -опора второго типа, то
при ; при ; при ; при .
Пусть -невырожденное опорное управление. Тогда условия (1), (2) необходимы для оптимальности управления .
Литература.
1. Габасов Р., Давронов Б.Э., Тагайназаров С., Хритоненко Н.В. Адаптивный метод решения интервальной задачи линейного программирования. Ч.П. Алгоритм. Минск, 1989. -45с. –библиогр.: 3 назв. -/БГУ им. В.И.Ленин. Деп. в ВИНИТИ 14.02.89.
2. Тагайназаров С. Оптимальное управление линейной системой в условиях неопределённости. Минск, 1989. -40 с. –Библиогр.: 5 назв. -/БГУ им. В.И.Ленин. Деп. в ВИНИТИ 28.02.89.