Линейная задача терминального управления.

Институт Энергетики Таджикистана

Тагайназаров С.

1.   Математическая модель. Пусть заданы: 1). динамическая система управления

        (1)

2). класс доступных управлений, состоящий из кусочно-постоянных функций  , стесненных ограничением .

3). терминальное множество в пространстве состояний

                                (2)

4). многогранный шар  радиуса :

назовем -окрестностью терминального множества.

Предположим, что множество достижимости  принадлежит конечной окрестности терминального множества (2): .

Линейная задача терминального управления в геометрической формулировке: среди точек множества  найти такую , которая лежит в минимальной окрестности множества :

   при        (3)

В аналитической форме рассматриваемая задача имеет вид:

      (4)

Поскольку в рассматриваемой задаче (4) нет терминальных ограничений, то любое доступное управление назовем допустимым управлением.

Минимальное число , при котором -окрестность  терминального множества  содержит состояние , порожденное допустимым управлением  , назовем значением критерия качества задачи (4) на допустимом управлении .

Определение 1. Допустимое управление , будем называть оптимальным, если .

Определение 2. При заданном числа  допустимое управление , называется -оптимальным, если оно удовлетворяет  неравенству: .

1. Опора. Опорное управление. Пуст -произвольное подмножество множества . На отрезке  выбираем конечное множество моментов . Введем множества . Количество элементов во введенных множествах подберем так, чтобы выполнялось равенство:

Рассмотрим два случая:   1). ,      2). .

Сформируем множество

где -дополнительный индекс, соответствующий переменной .

Обозначим    ,   я строка матрицы .

Построим матрицу , с блоками

Определение 3. Совокупность  назовем опорной задачи, если невырождена опорная матрица .

Обозначим .

Определение 4. Пара  из допустимого управления  и опоры называется опорным управлением. Опорное управление  назовем невырожденным, если :

1). Значения управления в опорные моменты некритические:

2). терминальное состояние , порожденное этим управлением, вместе с  удовлетворяет неравенствам:

 

2. Формула приращения критерия качества. Пусть -опорное управления

Обозначим  .

Наряду с допустимым управлением  с  и  рассмотрим тройку , удовлетворяющую для выбранных  равенствам

  (2)

Найдем приращение  критерия качества задачи (4) при переходе от опорного управления  к управлению .

Обозначим   ,   

Теорема (критерия оптимальности). Для оптимальности допустимого управления , достаточно выполнения соотношений:

1) если -опора первого типа, то

  при  ;    при ;   при ;    при  ;  при ;  при ;  при ;  при ;   при ;  при ;   при .

2) если -опора второго типа, то

 при ;    при  ;   при ;   при  .

Пусть -невырожденное опорное управление. Тогда условия (1), (2) необходимы для оптимальности управления .

Литература.

 

1.     Габасов Р., Давронов Б.Э., Тагайназаров С., Хритоненко Н.В. Адаптивный метод решения интервальной задачи линейного программирования. Ч.П. Алгоритм. Минск, 1989. -45с. –библиогр.: 3 назв. -/БГУ им. В.И.Ленин. Деп. в ВИНИТИ 14.02.89.

2.     Тагайназаров С. Оптимальное управление линейной системой в условиях неопределённости. Минск, 1989. -40 с. –Библиогр.: 5 назв. -/БГУ им. В.И.Ленин. Деп. в ВИНИТИ 28.02.89.