д.ф.м.н. Сафаров Д.С. и Саидназаров Р.

Кургантюбинский госуниверситет Республика Таджикистан

Двоякопериодические решения одного класса

эллиптических систем второго порядка

На комплексной плоскости рассмотрим эллиптическую систему, записанную в комплексной форме

(1) где дифференциальный оператор Бицадзе, постоянные комплексные числа, заданная функция.

В монографии , для уравнения

, (2) показано, что однородная задача Дирихле в круге , не будучи ни фредгольмовой, ни нетеровой, нормально разрешима по Хаусдорфу. Однородное уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений, а для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно выполнения бесчисленных множеств условий ортогональности.

Теория уравнения более общее чем уравнения (1) связаны с теории полианалитических функций, для которых И.Н. Векуа разработал эффективные методы их изучения.

Некоторые результаты касающиеся полианалитических функций порядка , полученные в последние ряда лет приведены в обзорной стати М.Б.Балка .

Заметим, что переход от аналитических функций к полианалитическим функциям порядка сопровождает существенными качественными изменениями в свойствах таких функций. Так, например не сохраняется теорема Лиувилля, теорема единственности, принцип максимума. Тем не менее, для таких функций доказывается «Ослабленный вариант» принципа максимума теорема единственности, более подробно можно ознакомится в работе .

Теория полианалитических функций порядка связано с теории аналитической функций двух независимых комплексных переменных и их свойства на неаналитической поверхности. При решение однородного уравнения (1) назевается бианалитической.

Для уравнения (1) мы будем исследовать задачу существования и нахождения двоякопериодических решений с основными периодами . Это задача для регулярных решений уравнения (1), то есть решений класса , связано распространением теоремы Лиувилля, в случае решений допускающих конечное число полюсов в конечной частью плоскости с распространением теории эллиптических функций.

В данной работе мы дадим описание ядро и коядро задачи в случае регулярных решений с применением теории эллиптических функций Вейерштрасса .

Как в обозначим через класс (пространство) двоякопериодических функций с основными периодами и принадлежащих соответственно в , где основной параллелограмм решетки периодов . Тогда по теореме вложения при ,,пространство двоякопериодических функций , для которых все производные порядка непрерывны по Гельдеру с показателем .

Предположим, что и будем искать решения (1) из . Структуры решений однородного уравнения (1) и её разрешимости зависят от расположения корней уравнения

. (3)

Легко видеть, что для решений однородного уравнения класса справедливо.

Лемма 1. Пусть корны уравнения (3). Тогда любое решение однородного уравнения (1) представимо в виде

, (4) где произвольные аналитические функции в область .

Лемма 2. Если корны уравнения (3), то справедливо представление

(5)

произвольные аналитические функции.

Эти формулы связывают класс двоякопериодических решений однородного уравнения с классом двоякопериодических функций второго рода с периодами .

Пусть решетка вида

.

Из свойства эллиптических функций получим

Лемма 3. Для того чтобы однородное уравнение (1) в классе допускало нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы хотя бы или , при этом

где постоянное, а число удовлетворяет условию

.

Теперь разыскиваем решения неоднородного уравнения, в случае различных корнях уравнения (3), в виде

, (6) где пока неизвестные функции.

Подставляя (6) в (1) и используя результаты работы , получим.

Теорема 1. Пусть различные корны уравнения (3) и . Тогда однородное уравнение имеет два решения, а для разрешимости неоднородного уравнения необхидимо и достаточно, чтобы

, (7) где как в лемме 3. При этом все решения уравнения (1) из класса представимы в виде

,

где произвольные постоянные, интегральный оператор с ядром дзета – функция Вейерштрасса

.

Свойства интегралного оператора изученно в ,,

.

Теорема 2. Пусть . Тогда для разрешимости уравнения (1) небходимо и достаточно лишь выполнении первого условия (7) при . При этом решения уравнения (1) представимы в виде

,

где произвольная постоянная, как в теореме 1, а интегральный оператор с ядром сигма – функция Вейерштрасса

.

Анологичная теорема справедлива при .

Теорема 3. Пусть , . Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет одно единственное решение вида

,

где , интегральные оператори вида соответетственно при , .

Теорема 4. Пусть и . Тогда однородное уравнение имеет одно решение, а для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы

где постоянное как в лемме 3. При этом все решения (1) имеют вид

,

где произвольная постоянная, постоянное является решением систем уравнений

,

циклические постоянные функции .

Теорема 5. Пусть . Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет только одно единственное решение вида

где как в теореме 2, в котором .

Литература

[1] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных, М; Наука 1981. 448с.

[2] Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. –М. – Л. : Гостехиздат, 1948г.

[3] Балк М.Б. Полианалитические функции. KOMPLEXE ANALYSIS AND IHER ANWENDUNG AUR PARTIELLE DIFFERENTIALGLET CHUNGEN, 1980, /41(м/8)/ Halle c. 11 – 48.

[4] Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций, М., 1971г, 318 с.

[5] Сафаров Д.С. О двоякопериодических обобщенных аналитических векторах. ДАН РТ, т. 24, №9, с. 141 – 144.

[6] Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции. Дифференциальные уравнения. 1991г, т. 27, №4, с. 656 –664.