Абдураимова И.А.
Профессиональный колледж «Туркестан Ахмет
Ясави»
при МКТУ им. А.Ясави
Разложение на
неприводимые множители
Для
многочленов кольца 
имеет место теорема, аналогичная теореме
о разложении целого числа на простые множители.
Теорема. (Основная теорема теории делимости многочленов). Всякий
многочлен из 
выше нулевой степени разлагается в
произведение неприводимых многочленов:
(
– неприводимый многочлен над полем 
),
и это разложение является единственным с точностью до порядка следования и
множителей нулевой степени.
Доказательство. Покажем сначала, что всякий многочлен 
из 
выше нулевой степени можно разложить в
произведение неприводимых множителей. Для неприводимого 
утверждение очевидно. В этом случае
получается разложение из одного неприводимого множителя: 
.
Поэтому пусть 
приводим. Тогда 
,
где 
и 
– многочлены из 
более низкой степени, чем 
.
Если один или оба сомножителя 
и 
приводимы, то один или оба сомножителя 
и 
будут разлагаться на дальнейшие
сомножители более низкой степени, и мы получим разложение самого многочлена 
на большее число сомножителей, чем в
первоначальном разложении, и т. д. Этот процесс дальнейшего разложения не может
быть бесконечным, так как степени сомножителей не могут бесконечно понижаться.
Следовательно, в итоге дойдем до разложения многочлена 
на неприводимые множители.
Теперь докажем вторую
половину теоремы - единственность разложения на неприводимые множители.[1]
Пусть многочлен 
двумя способами разлагается на
произведение неприводимых многочленов:
и 
,
где 
и 
- многочлены, неприводимые над 
.
Без ограничения общности можно предположить, что 
.
Тогда
.
Левая
часть последнего равенства содержит 
и
потому делится на 
.
Следовательно, на 
должна делиться и правая часть. Отсюда в
силу свойства неприводимых многочленов
должен делиться на 
по меньшей мере один из сомножителей
правой части. Пусть для определенности 
делится на 
.
Тогда по свойству неприводимых
многочленов 
и 
должны быть ассоциированными 
,
где 
– число из поля 
.
Подставляя это значение 
в правую часть равенства 
и производя сокращение обеих частей
равенства на 
,
получаем:
.
Повторяем
относительно последнего равенства
аналогичные рассуждения.[2] Получим 
,
где 
– число из 
.
Затем после соответствующего сокращения обеих частей равенства получим: 
и т. д. Докажем, что 
.
В самом деле, если предположить, что 
,
то после всех таких последовательных сокращений мы получили бы равенство 
.
Но это равенство невозможно, так как 1 не может делиться на многочлены 
, имеющие степень выше нулевой.
Итак, 
и 
.ð
Литература
1.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.-
М.: Наука, 1975.
2.
Винберг Э.Б. Алгебра
многочленов. - М.: Просвещение, 1984.