Профессиональный колледж «Туркестан Ахмет
Ясави»
при МКТУ им. А.Ясави
Для
многочленов кольца имеет место теорема, аналогичная теореме
о разложении целого числа на простые множители.
Теорема. (Основная теорема теории делимости многочленов). Всякий
многочлен из выше нулевой степени разлагается в
произведение неприводимых многочленов:
(– неприводимый многочлен над полем
),
и это разложение является единственным с точностью до порядка следования и
множителей нулевой степени.
Доказательство. Покажем сначала, что всякий многочлен из
выше нулевой степени можно разложить в
произведение неприводимых множителей. Для неприводимого
утверждение очевидно. В этом случае
получается разложение из одного неприводимого множителя:
.
Поэтому пусть приводим. Тогда
,
где
и
– многочлены из
более низкой степени, чем
.
Если один или оба сомножителя
и
приводимы, то один или оба сомножителя
и
будут разлагаться на дальнейшие
сомножители более низкой степени, и мы получим разложение самого многочлена
на большее число сомножителей, чем в
первоначальном разложении, и т. д. Этот процесс дальнейшего разложения не может
быть бесконечным, так как степени сомножителей не могут бесконечно понижаться.
Следовательно, в итоге дойдем до разложения многочлена
на неприводимые множители.
Теперь докажем вторую
половину теоремы - единственность разложения на неприводимые множители.[1]
Пусть многочлен двумя способами разлагается на
произведение неприводимых многочленов:
и
,
где
и
- многочлены, неприводимые над
.
Без ограничения общности можно предположить, что
.
Тогда
.
Левая
часть последнего равенства содержит и
потому делится на
.
Следовательно, на
должна делиться и правая часть. Отсюда в
силу свойства неприводимых многочленов
должен делиться на
по меньшей мере один из сомножителей
правой части. Пусть для определенности
делится на
.
Тогда по свойству неприводимых
многочленов
и
должны быть ассоциированными
,
где
– число из поля
.
Подставляя это значение
в правую часть равенства
и производя сокращение обеих частей
равенства на
,
получаем:
.
Повторяем
относительно последнего равенства
аналогичные рассуждения.[2] Получим ,
где
– число из
.
Затем после соответствующего сокращения обеих частей равенства получим:
и т. д. Докажем, что
.
В самом деле, если предположить, что
,
то после всех таких последовательных сокращений мы получили бы равенство
.
Но это равенство невозможно, так как 1 не может делиться на многочлены
, имеющие степень выше нулевой.
Итак, и
.ð
Литература
1.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.-
М.: Наука, 1975.
2.
Винберг Э.Б. Алгебра
многочленов. - М.: Просвещение, 1984.