Профессиональный колледж
«Туркестан Ахмет Ясави»
при МКТУ им. А.Ясави
При решении различных
проблем математики, механики, физики и техники часто приходиться делать те или
иные заключения о расположении корней многочлена с числовыми коэффициентами, не
зная его корней. При этом нередко существенную роль играют методы нахождения
границ действительных корней многочлена с действительными коэффициентами и
методы отделения отдельных корней, то есть способы нахождения таких интервалов,
в каждом из которых лежит один и только один действительный корень данного
многочлена (уравнения).
Многочлены с
действительными коэффициентами будем рассматривать как действительные
непрерывные функции действительного переменного .
Если все производные многочлена
-й
степени
положительны при
(
>
),
но
<
,
то существует такое число
>
,
что при
будет положителен и сам многочлен
вместе со своими производными
.[1]
Доказательство. Разложим по степеням
по формуле Тейлора:
.
По условию
положительны. Следовательно, члены
при
>
положительны и неограниченно возрастают при
возрастании
>
.
Производные ,
тем более будут положительны при
:
>
,
так как члены положительны. Аналогично
>
,и т.д. Предложение доказано.
Число>
,
при котором многочлен
и все его производные
положительны, является верхней границей
положительных корней многочлена.
В самом деле, при >
все члены разложения
будут положительны, в силу чего >
при
>
.
Тогда при
>
многочлен
не может обращаться в нуль и потому его
действительные корни должны быть меньше
.[2]
Старший коэффициент
данного многочлена -й
степени
всегда можно сделать положительным, стоит
только
умножить на -1. Поэтому пусть
>
. Обращаемся к
-й
производной
.
Если
>
, то
>
. Следовательно, можно подобрать такое положительное
число
>
, чтобы производная
при
была положительной. При этом
-я
производная
положительна при всех значениях
,
так как
>
.
Наконец, чтобы найти
нижнюю границу отрицательных корней ,
полагаем
и рассматриваем многочлен
.
Если
– верхняя граница положительных корней
,
то
–
нижняя граница отрицательных корней
.Таким
образом, все положительные корни многочлена
следует искать в интервале
,
а все отрицательные корни – в интервале
.
Литература
1.
Лапин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра
и теория чисел. Часть II. Линейная
алгебра и полиномы.- М.: Просвещение, 1978
2.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория
чисел.- М.:Высшая школа, 1979.