Муратбекова И.А.
Профессиональный колледж
«Туркестан Ахмет Ясави»
при МКТУ им. А.Ясави
Границы действительных корней многочлена
При решении различных
проблем математики, механики, физики и техники часто приходиться делать те или
иные заключения о расположении корней многочлена с числовыми коэффициентами, не
зная его корней. При этом нередко существенную роль играют методы нахождения
границ действительных корней многочлена с действительными коэффициентами и
методы отделения отдельных корней, то есть способы нахождения таких интервалов,
в каждом из которых лежит один и только один действительный корень данного
многочлена (уравнения).
Многочлены с
действительными коэффициентами будем рассматривать как действительные
непрерывные функции действительного переменного 
.
Если все производные 
многочлена 
-й
степени 
положительны при 
(
>
),
но 
<
,
то существует такое число 
>
,
что при 
будет положителен и сам многочлен 
вместе со своими производными 
.[1]
Доказательство. Разложим 
по степеням 
по формуле Тейлора: 
.
По условию 
положительны. Следовательно, члены 
при 
>
положительны и неограниченно возрастают при
возрастании 
>
.
Производные 
,
тем более будут положительны при 
:
>
,
так как члены 
положительны. Аналогично 
>
,и т.д. Предложение доказано.
Число
>
,
при котором многочлен 
и все его производные 
положительны, является верхней границей
положительных корней многочлена.
В самом деле, при 
>
все члены разложения 
будут положительны, в силу чего 
>
при 
>
.
Тогда при 
>
многочлен 
не может обращаться в нуль и потому его
действительные корни должны быть меньше
.[2]
Старший коэффициент
данного многочлена 
-й
степени 
всегда можно сделать положительным, стоит
только 
умножить на -1. Поэтому пусть 
>
. Обращаемся к 
-й
производной 
.
Если 
>
, то 
>
. Следовательно, можно подобрать такое положительное
число 
>
, чтобы производная 
при 
была положительной. При этом 
-я
производная 
положительна при всех значениях 
,
так как 
>
.
Наконец, чтобы найти
нижнюю границу отрицательных корней 
,
полагаем 
и рассматриваем многочлен 
.
Если 
– верхняя граница положительных корней
,
то 
–
нижняя граница отрицательных корней 
.Таким
образом, все положительные корни многочлена 
следует искать в интервале 
,
а все отрицательные корни – в интервале 
.
Литература
1.
Лапин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра
и теория чисел. Часть II. Линейная
алгебра и полиномы.- М.: Просвещение, 1978
2.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория
чисел.- М.:Высшая школа, 1979.