Каряченко Н.В., Иванова А.П.

Национальная металлургическая академия Украины,

Национальный горный университет

О ДИНАМИКЕ УПРУГИХ ОБЪЕКТОВ

С ПОДВИЖНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ

К исследованию уравнений гиперболического типа со смешанной производной приводятся задачи динамики гибких трубопроводов под действием протекающей жидкости. С задачами динамики трубопроводов, по которым течет жидкость, связаны исследования по динамике механических систем, несущих подвижные инерциальные нагрузки.

Исследованию таких систем в настоящее время уделяется большое внимание в связи с ростом скоростей движения перемещаемых грузов. При расчете и конструировании устройств, несущих подвижную инерциальную нагрузку важную роль играет правильный и достаточно полный учет нагрузок, связанных с динамическими процессами.

Одновременный учет всех основных динамических факторов, возникающих при движущейся нагрузке, приводит к сложным уравнениям, описывающим динамику упругих систем с подвижной нагрузкой. При решении таких задач пользуются различными приближенными методами типа Б.Г.Галеркина (Рэлея, Ритца и др.), которые являются модификациями метода разделения переменных. Эти методы основаны на одноволновом представлении решения. При построении приближенного решения они учитывают только одну группу стоячих волн при любом числе удерживаемых в решении членов. Однако колебания упругих конструкций с подвижной инерциальной нагрузкой представляются двумя группами колебаний, а именно, на каждой собственной частоте выполняется два сдвинутых по фазе на p/2 колебания с различными формами. Учитывая природу колебаний таких систем, эти колебания называют “двухволновыми”. Следовательно, применение приближенных методов типа Галеркина для решения задач динамики упругих конструкций с подвижными массовыми нагрузками не дает возможности полно исследовать характер поведения таких систем. Это следует из того, что в дифференциальных уравнениях в частных производных содержится нечетная по времени смешанная производная , которая соответствует инерционной силе кориолисова ускорения, называемой гироскопическим членом уравнения, и не позволяет разделить переменные по классической схеме. Поэтому, для полного исследования движения этих систем необходимы методы решения, учитывающие двухволновые процессы, происходящие в них. В большинстве работ, исследующих динамику таких объектов, не учитывается двухволновой характер процессов, происходящих в них, и при решении разрешающей системы дифференциальных уравнений используется классическая схема разделения переменных в действительной области искомых функций, что часто приводит не только к количественным, но и к качественным погрешностям.

Впервые неклассический способ разделения переменных, приводящий к точному решению в виде действительных функций в уравнении колебаний упругих систем с подвижной инерциальной нагрузкой, содержащем гироскопический член , в основу которого положен выбор решения в виде специального двухчленного представления, применен в работе [1]. Колебания таких систем осуществляются в виде суперпозиции двух групп стоячих волн с одинаковыми частотами, но различными формами и фазами колебаний. Эти группы колебаний названы “собственными” и “сопровождающими”.

Метод двухволнового представления решения получил дальнейшее развитие в работах [1-8], в которых исследуются задачи о колебаниях и устойчивости шланга и трубопровода с протекающей жидкостью, струны с распределенной подвижной инерциальной нагрузкой, балок, пластинок и оболочек, находящихся под действием подвижной инерциальной нагрузки. Показано, что гибкие объекты теряют устойчивость на всех частотах одновременно, а объекты, обладающие конечной жесткостью - последовательно на каждой из частот колебаний.

Монография [2] посвящена исследованию механических систем, имеющих двухволновую природу колебаний. В ней построены точные решения задач динамики простейших механических систем с двухволновой природой колебаний, выявлены некоторые особенности их движений, указана возможность постановки новых задач в нетрадиционных формах, для решения которых необходима модификация известных приближенных методов и разработка новых для исследования более сложных систем такого вида. Исследованы вопросы динамики одномерных упругих тел, находящихся под действием инерциальной нагрузки, движущейся с постоянной скоростью. Показано влияние сил инерции Кориолиса на качественную сторону колебательного процесса. Точное решение некоторых задач позволяет выявить вторую критическую скорость, которую нельзя выявить приближенными методами и после достижения которой, несущая конструкция становится динамически неустойчивой. Ее значение для основной частоты на 15-20% больше от значения первой критической скорости. Из анализа форм собственных и “сопровождающих” колебаний основного тона видно, что с ростом скорости движения нагрузки собственные формы колебаний существенно деформируются, и значительно повышается роль “сопровождающих” колебаний. Показано, что теорию двухволновых колебаний можно применять для исследования динамики балок на базе уточненных моделей теории колебаний упругих тел. Рассмотрены колебания и устойчивость прямоугольных пластин и подкрепленных цилиндрических оболочек под действием подвижной инерциальной нагрузки. Показано что, как и в случае одномерных конструкций, решение таких задач может быть записано в виде суперпозиции двух групп стоячих волн - каждой собственной частоте соответствуют две стоячие волны, сдвинутые по фазе на p/2. Установлено, что для рассмотренных выше задач, существует три характерные области скоростей движущихся инерциальных нагрузок: в первой одновременно все или одна из собственных частот уменьшаются, во второй частоты увеличиваются, и наступает “усиление жесткости” колебательной системы, а третья - область динамической неустойчивости. Исследованы также колебания упругих объектов переменной длины, проведена аналогия между колебаниями систем с подвижной инерциальной нагрузкой и колебаниями объектов переменной длины.

Таким образом, двухволновое представление решения разрешающих уравнений, описывающих движение систем, несущих подвижную инерциальную нагрузку, дает возможность провести более полное исследование поведения таких систем и выявить новые качественные и количественные закономерности протекания динамических процессов, происходящих в них.

Литература.

1. Горошко О.А. Собственные и “сопровождающие” колебания в системах с подвижными инерционными нагрузками // Тр.5-й Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. - Т.3. - 1970. - С. 215-220.

2. Горошко О.А. Общие свойства колебательных систем с подвижной массовой нагрузкой и тел переменной длины // 11-й Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике. - К. - 1976. - С. 18.

3. Горошко О.А., Демьяненко А.Г. О двухволновом представлении решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых конструкций с подвижной нагрузкой // Укр. мат. журнал. - 1974. - Т.26, №5. - С. 648-651.

3. Горошко О.А., Демьяненко А.Г. О двухволновом характере осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с подвижной нагрузкой // Асимптотические методы в нелинейной механике. - К., 1974. - С.34-41.

5. Горошко О.А., Демьяненко А.Г., Киба С.П. Двохвильові процеси в механічних системах. - К., 1991. - 188 с.

6. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. - К., 1971. - 224 с.

7. Киба С.П. Об одном способе решения задачи о струне с подвижной нагрузкой // Прикл. механика. - 1974. - Т.10. №1. - С. 111-117.

8. Киба С.П., Дем`яненко А.Г. Узагальнення методу розділення змінних та деякі його застосування в механіці. - К.: НМК ВО, 1991. - 120 с.