Парфинович Н.В.
Пусть
(
) -
пространства 2π-периодических функций
с соответствующими
нормами
. Для класса
обозначим через
величину наилучшего приближения класса М множеством в метрике пространства
. Величину
,
где -
подпространства пространства
(
), называют n-поперечником
по Колмогорову класса М в пространстве
.
Пусть - еще
один класс функций. Величина
(1)
(,
)
называется относительным n-поперечником. Величины типа
(1) введены в рассмотрение В.Н. Коноваловым в 1984 году.
Обозначим через (
) класс функций, у которых
-я
производная локально абсолютно непрерывна (
) и
, а через
- класс функций, у которых
и
.
Хорошо известно, что при всех и
будет
|
)( |
|
Ясно также,
что для любого
|
)( |
|
Вместе с
тем В.Н. Коновалов [1] установил, что в отличие от (2) и (3), для всех будет
|
)( |
|
Аналогичное
соотношение в случае получено В.Ф. Бабенко
[2], [3]: при всех
имеют место порядковые равенства:
|
)( |
|
)( |
|
В.Ф.
Бабенко также доказал, что при любом
фиксированном и при всех
выполняется
|
)( |
|
Нами
рассмотрен вопрос о поведении при величин
и
, где
- невозрастающая
последовательность положительных чисел.
Имеют место следующие результаты.
Теорема 1. Для всех , при
справедливы следующие
порядковые равенства
|
)( |
|
)( |
|
|
)( |
|
)( |
|
Теорема 2. Для всех , справедливы следующие соотношения.
Если при
, то
|
)( |
|
)( |
|
|
)( |
|
)( |
|
если , то
.
Список литературы
1. Коновалов В.Н. Оценка поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических
функций // Мат. заметки. 1984. Т.35, вып. 3. С. 369 - 380.
2.
Бабенко
В.Ф. Наилучшие -приближения
классов
сплайнами из
// Укр. мат. журн.
1994. Т.46, № 10. С. 1410 - 1413.
3. Бабенко В.Ф.
Приближение в среднем при наличии ограничений на производные
приближающих функций // Вопросы анализа и приближений. - Киев: Ин-т математики
АН УССР, 1989. С. 9 - 18.