Волкова Н.І.

Дніпропетровський національний університет

Абсолютна сумовність ряду Фур’є з множником методом Вороного-Нерлунда

Послідовність , де

де задана послідовність дійсних або комплексних чисел, називається – перетворенням ряду . Ряд називається абсолютно сумовним методом Вороного-Нерлунда, або – сумовним на множині , якщо .

Нехай – -періодична функція, інтегровна за Лебегом на і – загальні члени ряду Фур’є і спряженого ряду Фур’є.

Введемо позначення:

, , ,

,

Якщо , ,

, , то .

Теорема 1. Якщо і , ,

тоді – сумовний

Доведення. Для ряду Фур’є функції

, , тоді

Оскільки , то для доведення теореми достатньо показати, що ..

Змінивши порядок сумування

Оскільки для довільного , то

, оскільки

, оскільки

Оскільки , то приміняючи перетворення Абеля, одержимо

Розглянемо

Об’єднуючи доведені нерівності стверджуємо, що ряд абсолютно сумовний методом Вороного-Нерлунда.

Теорема 2. Якщо і , , , тоді - сумовний.

Доведення. Інтегруючи частинами

Розмірковуючи, як при доведенні теореми 1, маємо

Оскільки , то для доведення теореми достатньо показати, що . Доводиться ця нерівність аналогічно, як доводиться відповідна нерівність в теоремі 1.