Ищенко Е.Н.
Днепропетровский национальный
университет
Многообразия пучков
прямых в интерпретации Плюккера
Пусть − трехмерное
проективное пространство, а
− пятимерное
проективное пространство с квадрикой Плюккера в нем. Плюккеровы координаты
прямой в
обозначим символами
. Для этих координат будем пользоваться ещё обозначениями
Эти координаты удовлетворяют
фундаментальному условию Плюккера
(1)
Уравнение (1) определяет квадрику
Плюккера Каждая прямая
пространства
отображается в точку
этой квадрики. Если имеем две пересекающиеся прямые в
с координатами
то для них будут
выполняться условия
(2)
В этом случае равенствами
определяется пучок прямых. В этому пучку будет
соответствовать прямая, принадлежащая квадрике Плюккера. Так как ставится
задача исследовать свойства совокупности пучков прямых в
то эта задача приводит
к задаче исследования линейчатых образов на квадрике Плюккера.
Найдём уравнения,
определяющие прямые квадрики Плюккера. Сделаем это двумя способами.
1. Произвольную прямую
пространства можно задать с помощью
четырёх линейных уравнений:
(3)
Эти уравнения показывают, что
совокупность прямых в пространстве является
восьмипараметрической. Подставляя координаты
в уравнение (1) и
приравнивая нулю коэффициенты при
получим соотношения
(4)
Эти равенства являются условиями
того, что прямая (3) принадлежит квадрике Плюккра
Таким образом,
совокупность всех прямых, принадлежащих квадрике , является пятипараметрической. Поэтому из этой совокупности
можно образовать одно-, дву-, трёх- и четырёхпараметрические семейства прямых.
Очевидно, в общем случае трёхпараметрическая совокупность прямых на
отображается на
совокупность всех прямых пространства
2. Прямую пространства можно задать с помощью
плюккеровых координат. Для этого возьмем на ней две какие-нибудь точки. Не
нарушая общности, можем считать, что такие точки заданы координатами
и
Будем обозначать
плюккеровы координаты буквами В таком случае будут
иметь место следующие равенства:
(5)
где − множитель
пропорциональности. Исключая из равенств (5) координаты
получим следующие
квадратичные соотношения между плюккеровыми координатами прямой пространства
:
(6)
Не всякая прямая, плюккеровы которой
удовлетворяют условиям (6), принадлежит квадрике . Для того, чтобы она принадлежала квадрике
необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия (2), которые в данном случае принимают
вид
(7)
Подставив в равенства (7) значения
коэффициентов из равенств (5), получим три дополнительные соотношения на
плюккеровы координаты
(8)
Таким образом, пятнадцать
плюккеровых координат удовлетворяют девяти
соотношениям (6) и (8). Учитывая однородность плюккеровых координат, остаётся пять независимых координат. Это значит, что
совокупность прямолинейных образующих квадрики Плюккера
является
пятипараметрической.
Получены равенства,
которые выражают связь между плюкеровыми координатами и координатами :
(9)
Из равенств (9) находим :
(10)
Исключение координат из равенств (9)
приводит к соотношениям (6). Подставив выражения (10) в соотношения (4),
получим равенства (8).