Бельский В. А.

Гомельский инженерный институт МЧС Республики Беларусь, г. Гомель,

Беларусь, преподаватель

УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ОДИНАКОВЫМ

ОПЕРАТОРОМ СДВИГА

Рассмотрим уравнение Абеля

, (1)

где коэффициенты являются непрерывными на R функциями, - есть оператор дифференцирования по независимой переменной .

В докладе даны условия, при которых отображения за период различных уравнений Абеля вида (1), совпадают.

Полученные результаты основаны на понятии отражающей функции Мироненко В. И., поэтому приведем кратко основные сведения из теории отражающей функции (ОФ) [1, с. 62].

Для дифференциальной системы

(2)

с общим решением ОФ определяется формулой . Если - ОФ дифференциальной системы (2), а - ее решение, определенное при , то . Различные дифференциальные системы могут иметь одну и ту же ОФ. Все системы с одной и той же ОФ образуют класс эквивалентности. Все системы этого класса и только они могут быть записаны в виде , где - ОФ, характеризующая этот класс, а - произвольная вектор-функция. Если система (2) - периодична по , то является отображением за период (отображение Пуанкаре).

Две дифференциальные системы называют эквивалентными, если их ОФ совпадают.

Теорема 1. Пусть для коэффициентов уравнения Абеля (1) выполнено условие , где . Тогда уравнение в частных производных

имеет два таких линейно независимых решения вида

, ,

для которых все уравнения вида

, (3)

с произвольными непрерывными нечетными функциями , имеют один и тот же оператор сдвига , где - общее решение уравнения (1) в форме Коши.

В частности, если уравнения (3) - периодические, то это означает, что они имеют одно и то же отображение за период .

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют тождеству

,

причем может обращаться в нуль лишь в изолированных точках. Тогда для уравнения (1) существует единственное с точностью до постоянного множителя вида (3), для которого все уравнения вида

,

с произвольной непрерывной нечетной функцией , имеют один и тот же оператор сдвига . Причем всюду там, где отлично от нуля, коэффициенты функции могут быть вычислены по формулам

, где - произвольная постоянная.

Особый интерес представляет случай, когда для уравнения (1) можно построить уравнение Абеля вида

, (4)

где - непрерывная на R функция, являются константами, которое было бы эквивалентно уравнению (1). Приведем некоторые результаты, описывающие этот случай.

Введем обозначения:

,

, .

Теорема 3. Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены следующие соотношения

и имеют место тождества

Тогда для уравнения (1) существует эквивалентное ему уравнение вида (4), которое может быть записано в виде

.

Теорема 4. Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены следующие соотношения

и имеют место тождества

.

Тогда для уравнения (1) существует эквивалентное ему уравнение вида (4), которое может быть записано в виде

.

Последняя теорема показывает, что возможна эквивалентность уравнения Абеля и линейного уравнения.

Если нам удастся для заданного уравнения (1) построить эквивалентное ему уравнение, которое окажется проще для исследования, то, анализируя это уравнение, мы можем получить содержательную информацию о свойствах решений исходного уравнения.

Пример. Нетрудно убедиться, что для уравнения

, (5)

где - произвольные непрерывные нечетные функции, выполняются все условия теоремы 4. Тогда уравнение (5) эквивалентно уравнению , все решения которого - периодические. Если в уравнении (5) все функции - периодические, то, как следует из свойств ОФ, все решения этого уравнения также будут - периодическими.

Литература

1. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. Мин. образования РБ, УО «ГГУ им. Ф. Скорины», - Гомель, 2004. –196 с.