Городецький В. В., Колісник Р. С., Шевчук Н. М.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Про оператор узагальненого інтегрування у просторах аналітичних функцій типу

Інтегральні оператори та інтегральні рівняння займають важливе місце в сучасній математиці. Наприклад, оператори вигляду є модельними в теорії Фредгольма – Рісса цілком неперервних операторів. Крім того, до розв’язання інтегральних рівнянь зводиться розв’язання багатьох звичайних диференціальних рівнянь, а також рівнянь з частинними похідними. Оскільки операція інтегрування є оберненою у відомому розумінні до операції диференціювання, з якою пов’язане поняття аналітичної функції, то природним є вивчення властивостей інтегральних операторів у різних просторах аналітичних функцій. У теорії аналітичних у крузі функцій з топологією компактної збіжності (простори ) вивчається питання про зображення лінійних неперервних відображень, зокрема, у вигляді інтегральних операторів скінченого або нескінченного порядків, операторів узагальненого інтегрування. Різні аспекти цієї проблеми досліджували Ж. Десальт, Ж. – Л. Ліонс, Ю. Ф. Коробейник, М. І. Нагнибіда, В. В. Напалков, В. А. Ткаченко, І. І. Райчинов, В. П. Подпорін, С. С. Лінчук та інші математики. Важливий клас операторів узагальненого інтегрування утворюють оператори вперше введені в праці [1]. Ці оператори будуються за фіксованою послідовністю , для якої

тобто - коефіцієнти Тейлора деякої цілої функції порядку і типу . За означенням [1],

де - довільна функція з простору Зазначимо, що якщо то збігається з оператором звичайного інтегрування в : Якщо ж то де - оператор множення на незалежну змінну. Прикладами інших просторів, елементами яких є цілі функції і які широко використовуються при дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними є простори типу , введені Б. Л. Гуревичем (озн. просторів типу див. у книзі [2]). Функції з таких просторів на дійсній осі разом з усіма своїми похідними при спадають швидше, ніж Топологія просторів типу відмінна від топології простору . Простори типу є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченого та нескінченного порядків, при яких розв’язки є цілими функціями за просторовими змінними.

Основний результат цього повідомлення наступний: знайдено підпростори просторів типу , в яких визначені, є лінійними і неперервними оператори узагальненого інтегрування , а також оператор узагальненого інтегрування нескінченного порядку вигляду де - ціла функція, яка задовольняє умову

- диференційовна, парна на та зростаюча на функція,

послідовність задовольняє умову:

фіксоване).

Зазначимо, що у вказаних просторах коректно визначений і є неперервним оператор

Властивості операторів та дозволяють встановити розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з вказаними операторами у відповідних підпросторах типу .

Література

1. Фишман К.М. О базисе из обобщенных первообразных / К.М. Фишман, Н.И. Нагнибіда // Сиб. мат. журн. – 1965. – Т.6, №4. – С. 944 – 946.

2. Гельфанд И.М. Пространства основных и обобщенных функций / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. – М.: Физматгиз, 1958. – 307с.