КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПАРАМЕТРЫ ИЗДЕЛИЙ РКТ ПРИ ИХ ИСПЫТАНИЯХ

Математика 3. Теория вероятностей и математическая статистика

Алхимова В.М., Гейда Е.Г., Волошко В.Л., Мищенко Н.В., Цветков В.Н.

Днепропетровский национальный университет

Классификация случайных процессов, описывающих параметры изделий РКТ при их испытаниях

В реальных условиях наземных и летных испытаний изделий РКТ процессы, описывающие их параметры, по своей природе, носят случайный характер, что проявляется в отсутствии повторяемости зарегистрированных реализаций процессов при близких условиях испытаний. При этом для функционирования изделий РКТ характерно наличие временных участков выхода на режим, работы их на основном режиме и отключения, которые обладают существенно различной степенью стационарности протекания физических процессов. Так как на практике задача оценивания параметров изделий РКТ ставится на всех участках работы изделий, то это требует для её решения использовать широкий класс случайных процессов, которые классифицируются по следующим независимым друг от друга признакам:

1. По форме регистрации.

При отработке изделий РКТ в зависимости от формы (аналоговой или цифровой) регистрации измерений имеют место два случая:

· , где - некоторый интервал на действительной прямой , , , а также , где - конечный интервал;

· последовательность значений параметра или является конечной или счетной, т.е. интервал состоит из изолированных точек, обычно целых чисел.

Первому случаю соответствует процесс с непрерывным параметром – случайный процесс . Второму – случайный процесс с дискретным параметром – случайная последовательность или временной ряд .

2. По свойству непрерывности.

Наиболее часто применяемым в теории являются следующие два определения непрерывности случайных процессов:

· случайный процесс со значениями в измеримом фазовом пространстве является стохастически непрерывным, если для любого

при всех , где означает расстояние между соответствующими точками фазового пространства;

· случайный процесс непрерывен в среднеквадратическом на интервале , если для любого выполняется условие

3. По свойству дифференцируемости.

Случайный процесс называется дифференцируемым в точке , если для любой сходящейся к нулю последовательности чисел последовательность случайных величин сходится к одной и той же случайной величине, называемой производной процесса в точке . Из определения непрерывности случайного процесса в среднеквадратическом, следует, что достаточным условием дифференцируемости процесса является существование второй смешанной производной от ковариационной функции при разных значениях ее аргументов. Отсюда следует, что достаточным условием дифференцируемости стационарного случайного процесса является существование второй частной производной от ковариационной функции при нулевом значении ее аргумента. Примером таких процессов являются процессы и , т.к. для них и соответственно. При этом случайный процесс , имеющий две непрерывные производные и обращающийся в нуль вне конечного отрезка , называется финитным.

4. По свойству сепарабельности.

Важную роль в приложениях играют процессы, однозначное описание которых осуществляется только с помощью последовательности конечномерных распределений. Такие процессы называются сепарабельными и они могут быть восстановлены с использованием предельного перехода по их значениям на некотором счетном всюду плотном множестве точек. На практике обычно a priori известно или предполагается, что реализации исследуемого случайного процесса непрерывны или их разрывы представляют собою скачки конечной величины. Тогда каждая реализация, обладающая таким свойством, полностью задается только ее значениями на некотором счетном всюду плотном множестве точек.

5. По возможности прогнозирования.

Если в качестве критерия использовать возможность прогнозирования (экстраполяции) мгновенных значений случайных процессов в будущие моменты времени, то процессы делятся на три вида:

· марковские, качество прогнозирования которых не зависит от значений реализаций в моменты, предшествующие данному;

· немарковские, для которых качество прогнозирования определяется полнотой учета информации о значениях процесса в моменты времени, предшествующие данному;

· сингулярные (со случайными параметрами), прогнозирование которых при учете достаточного числа значений в моменты времени, предшествующие данному, принимает достоверный характер.

6. По стационарности (нестационарности)

Пусть - система вероятностных характеристик, обеспечивающих полное описание случайного процесса . Тогда этот процесс относится к классу нестационарных, если все или любая часть функции зависит как от разности моментов отсчета, так и от текущего времени. Согласно данному определению случайные процессы делятся на нестационарные и стационарные в узком смысле, так как для последних функция распределения является инвариантной по отношению к произвольному временному сдвигу процесса:

, где . (1.1)

Часто при изучении случайных процессов задача исследования формулируется таким образом, что для ее решения достаточно располагать только первыми двумя функциями из семейства (1.1) или только первыми двумя моментными функциями процесса: – математическим ожиданием и ковариационной функцией

. (1.2)

При этом обязательно требуется, чтобы , т.е. чтобы процесс обладал конечной средней мощностью при любом (гильбертовы процессы). Гильбертов процесс называется стационарным в широком смысле, если для него не зависит от , а ковариационная функция не зависит от начала отсчета, т.е.

. (1.3)

Для стационарного в узком смысле случайного процесса имеет место следующее свойство: если , то не зависит от при , а ковариационна функция (1.2) зависит только от разности . Справедливость этого утверждения следует из того, что для стационарного процесса

и ,

т.е. имеет место (1.3), и такой процесс оказывается стационарным и в широком смысле (обратное утверждение в общем случае неверно). Исключение составляют гауссовы процессы, так как гауссов процесс можно полностью описать в рамках корреляционной теории, т.е. двумя первыми функциями в семействе (1.1).

В свою очередь нестационарные случайные процессы классифицируются по порядку нестационарности, свойству стационаризуемости, скорости нестационарности, свойству эргодичности и признаку аппаратурной нестационарности.

Первый признак. Порядок нестационарности процесса определяется низшим порядком моментной или ковариационной функции, с которого проявляется нестационарность случайного процесса. В соответствии с этим случайный процесс называется нестационарным порядка , если при выполняется условие

;

где .

Второй признак. Нестационарный процесс приводится к стационарному только в том случае, если существует оператор , устанавливающий связь со стационарным случайным процессом , и обратное преобразование . При этом приведение к стационарному процессу , если , осуществляется с помощью преобразования

где – произвольные постоянные, а – стационарный случайный процесс, аддитивный относительно .

Третий признак. Различают процессы с быстрой и медленной нестационарностью. Для количественного определения скорости нестационарности используют сравнение одномерных распределений плотности вероятности отношений производных мгновенных значений и функции, описывающей нестационарность , к текущим значениям и соответственно.

Четвертый признак. В общем случае класс эргодических процессов составляют процессы, для которых результаты усреднения по совокупности и по времени совпадают. Для нестационарных процессов понятие эргодичности обобщается применительно как к средним, так и к текущим статистическим характеристикам. В соответствии с этим процессы, для которых средние статистические характеристики могут быть определены усреднением по времени одной реализации, относятся к нестационарным процессам, обладающим свойством обобщенной эргодичности. Нестационарные процессы, для которых усреднением по времени одной реализации могут быть определены с требуемой точностью текущие статистические характеристики, относятся к процессам со свойством текущей эргодичности.

Пятый признак. Данный признак классификации связан с разработкой методологии и средств аппаратурных случайных процессов. При этом аппаратурно-нестационарным случайным процессом считается такой процесс, для которого в результате усреднения на интервале и ширине спектра разброс оценок характеристик процесса больше . При меньшем разбросе оценок случайный процесс считается аппаратурно-стационарным.