Математика 3. Теория вероятностей и математическая статистика

Цветков В.Н., Гейда Е.Г., Алхимова В.М., Волошко В.Л., Мищенко Н.В.

Днепропетровский национальный университет

ВОПРОСЫ ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ПРИ ОТРАБОТКЕ ИЗДЕЛИЙ РКТ

При построении вероятностных характеристик случайных процессов возможно применение интервального и точечного оценивания. Как установлено в [1], при отработке изделий РКТ следует применять метод точечного оценивания из-за его меньшей трудоемкости по сравнению с методом интервального оценивания.

В общем случае точечные оценки параметров функции распределения случайного процесса являются функционалами от его реализации :

При этом идеи точечного оценивания случайных процессов являются обобщением методов построения точечных оценок значений случайных величин, а основное отличие состоит в том, что наблюдения над случайной величиной, как правило, можно обоснованно считать некоррелированными, в то время как последовательные значения временного ряда (если этот ряд не белый шум) оказываются коррелированными. При этом в зависимости от информации об априорном распределении оцениваемого параметра определяются:

– условная оценка параметра

,

которая строится по выборочным значениям в предположении, что они принадлежат распределению с фиксированным значением параметра ;

– безусловная оценка параметра

,

получаемая усреднением условной оценки по всем возможным значениям .

Отсюда как функция случайных переменных сама оценка является случайной величиной и она должна обладать следующими свойствами, характеризующими ее качество.

Первое свойство. Условная оценка называется несмещенной, если . При оценки называются асимптотически несмещенными. Несмещенная оценка всегда асимптотически несмещенная, но не наоборот.

Второе условие. Условная оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном увеличении объема выборки , т.е. если при сколь угодно малом справедливо соотношение

.

Достаточным условием состоятельности оценки является условие

.

Третье свойство. Условная оценка параметра называется достаточной, если для любой другой оценки условная случайная величина имеет распределение, не зависящее от . Необходимое и достаточное условие того, что была достаточной оценкой, состоит в возможности представления условной функции правдоподобия в виде произведения двух неотрицательных сомножителей:

,

первый из которых зависит от и от , а второй – только от выборочных значений и не зависит от оцениваемого параметра . Свойство достаточности оценки параметра позволяет сократить процесс накопления экспериментальных данных, необходимых для оценки параметра.

Четвертое свойство. Условная оценка называется эффективной оценкой параметра, если при заданном смещении

.

В частности, если – несмещенная оценка, то ,

При этом отношение

называется относительной эффективностью оценки , причем соответствует эффективной оценке. Если для данной оценки

,

то оценка называется асимптотически эффективной. Следует иметь в виду, что при сравнении двух оценок и одного параметра величина их относительной эффективности определяется как может быть любой положительной величиной.

Эффективность той или иной оценки можно оценить с помощью неравенства Рао-Крамера, которое определяет нижнюю границу дисперсий оценок и имеет вид

,

откуда для оценок с постоянным смещением и для несмещенных оценок

,

где называется информацией, содержащейся в выборке объемом . Это соотношение позволяет связать свойства эффективности и достаточности условных оценок: если – достаточная оценка параметра , то количество информации, содержащейся в выборке относительно параметра равно количеству информации, содержащейся в достаточной оценке , откуда получаем, что любая эффективная оценка является и достаточной (обратное утверждение в общем случае неверно).

Пятое свойство. Из двух сравниваемых оценок и параметра назовем менее трудоемкой ту оценку, которая для достижения одинаковой точности оценок требует меньшего объема вычислений. В связи с этим согласно [2] вводятся критерий трудоемкости как выраженное в процентах отношение числа ординат случайного процесса, обрабатываемых при применении эффективной дискретной обработки, к числу ординат, обрабатываемых при использовании квадратурной формулы, и коэффициент рациональности , который показывает, во сколько раз сокращается объем вычислений при применении эффективной дискретной обработки по сравнению с интегральной. Если , то при рациональной является дискретная эффективная обработка, т.е. построение оценки с шагом . Если , то при рациональной является интегральная обработка с шагом h, так как дальнейшее уменьшение шага не приводит к увеличению ее точности. При исследовании общих свойств критериев и установлено, что:

– в случае метода «крайних» зависимости и не имеют экстремумов: зависимость является монотонно возрастающей, а – монотонно убывающей;

– в случае обработки с оптимальным шагом зависимости и имеют экстремум, причем точка экстремума расположена в области , где – интервал корреляции случайного процесса;

– чем сильнее коррелированы обрабатываемые сечения случайного процесса, тем меньшее значение достигается в соответствующих точках экстремума.

ЛИТЕРАТУРА

1. Цветков В.Н., Гейда Е.Г., К вопросу вида оценивания параметров изделий РКТ. Материали за VI МНПК «Научният потенциал на света – 2010», 17 – 25 септемеври, 2010, том 8. Технологии Математика Физическа култура и спорт, София., с. 57 – 59

2. В.Н. Цветков Исследование критериев рациональности обработки измерений.Матеріали ІІІ міжнародної конференції «Наука і освіта’2000». Київ-Дніпропетровськ-Харків-Черкаси, 01-15 лютого 2000р, том6, с.25-26.