Математика/ 4. Математическое моделирование

Старший преподаватель кафедры математики и физики Капанова Б.Х

Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова, Казахстан

Сумма членов некоторых числовых последовательностей

Как известно, арифметическая и геомертическая прогрессии имеют как практическое, так и теоретическое значение.

Рассматриваем применение арифметической прогрессии для вычисления суммы членов некоторых числовых последовательностей.

Введем следующее обозначение:

где

Пусть последовательность является арифметической прогрессией. Тогда сумма:

(1)

В частности

(2)

В дальнейшем полезно знать некоторые суммы членов последовательностей.

Теперь рассмотрим их.

1. Вычислить сумму:

Решение.

Полагая в равенстве

Тогда получим:

Сложив эти равенства почленно, имеем:

Отсюда, применяя равенство (2), получим:

(3)

2. Вычислить сумму:

Решение.

В равенстве положим

Сложив полученные равенства почленно, затем применяя (2) и (3), получим:

(4)

После этого можно рассмотреть следующие свойства.

Свойство 1. Если арифметические прогрессии с разностями соответсвенно , то

(5)

Доказательство.

Так как и где

то имеем следующие равенства:

Сложив эти равенства почленно, получим (5).

Свойство 2. Если арифметические прогрессии с разностями соответсвенно , то

(6)

Доказательство проводится как в свойстве 1.

Теперь приведем примеры на свойств 1,2.

Пример-1.

Доказать, что

Доказательство.

Пусть

Покажем, что

Последовательности и являются арифметическими прогрессиями. Поэтому сумма А вычислим по формуле (5), где

Тогда

Пример-2. [1]

Вычислить сумму

Решение.

Последовательность является прогрессией.

Применяя формулу (5), где

и

то получим:

т.е. получили

Пример-3.

Вычислить сумму

Решение.

Применяя свойство 2, где

получим:

Т.е. получили

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» том 1, М.: Наука, 1985.