Божанов Е.Т., Сатыбалдиев О.С., Назарбаев Д.А., Сагатбек Д.
Казахский национальный технический университет имени К.И. Сатпаева,
Казахстан
Расчетная математическая модель
биомеханики человека с позиции теории неупругой среды механики сплошных сред
под действием статических нагрузок.
Постановка задачи.
Рассмотрим биомеханику человека с позиции теории неупругой среды механики сплошных сред [1]-[6] как трубчатую конструкцию из упруго-вязких материалов Рис.1-4. Условия равновесия элемента биомеханики человека под действием статических нагрузок на отдельных участках сопряжения имеет вид:
где 
- коэффициент вязкости демпфера, 
- коэффициент
жесткости пружины,
- активная нагрузка по формам. Критической деформации
поперечного сечения:
, 
, 
;
- внутренний радиус трубчатой конструкции, 
- длина, 
- толщина,
- гибкость, 
- коэффициент
приведения длины, 
- наименьший радиус инерции поперечного сечения, 
- модуль Юнга.
|
Рис.1 Шагающая модель человека |
Рис.2 Разомкнутая кинетическая цепь руки человека |
|
Рис.3 Модель сердца на механической подвеске |
Рис.4 Модель человеческого организма 1-голова, 2-торс, 3-грудная клетка, 4-позвоночный столб, 5-таз, 6-ноги. |
Пусть характеристическое
уравнение:
имеет два действительных корней и два комплексных корней 
,
; 
,
где 
, 
, 
.
Данное предположение
с точки зрения механики означает, что коэффициент вязкости намного больше
коэффициента сопротивления, т.е. 
. Следовательно, вместо дифференциального уравнения в первом
приближении рассмотрим дифференциальное уравнение модели Б-3;
(1)
при тех же граничных условиях
,
, 
(2)
т.е. правый край свободный, а левый край скользящее заделанный.
Решение. Общее решение ищем в виде
(3)
где 
- общее решение однородной части, т.е.
(4)
где 
, 
(5)
- какое-нибудь частное решение (1):
(6)
На основании (4) и (6) из (3) определим общее решение дифференциального уравнения (1) как линейное перемещение точек деформации человеческого организма:
(7)
При методе сечении условия заключаются в том, что в смежных сечениях, до и после места сопряжения, должны быть одинаковы
- линейные перемещения - 
,
- угловые перемещения - 
,
- изгибающие моменты - 
- перерезывающие силы - 
.
Из (7) определим их без множителя:
(8)
где 
, 
(9)
(10)
где 
(11)
. (12)
Произвольные постоянные
интегрирования
,
,
,
определим из граничных условии (2).
=> 
(13)
=> 
=> c учетом (13)
=> 
(14)
Из условии 
(формула (12)) c учетом (14)
=> 
, (15)
где 
, 
,
(16)
Из условии 
(формула (10)-(11)) =>
c учетом (13) и (14)
=>
(17)
где 
, 
;
(18)
Для определения произвольно
постоянных 
и 
интегрирования имеем
систему алгебраических уравнений (15)-(18), которая имеет единственное решение.
Решая данную систему определим:
(19)
, (20)
. (21)
На основании формул (13) и (14) с учетом (19)-(21) получим:
. (22)
(23)
Подставляя формулы, значения 
, (19)-(23) в формулу (7) получим:
.
где 
, 
, 
.
.
.
Литература.
- Е.Т. Божанов, Ж.С. Ержанов, Исследование проблем устойчивости упругих тел, гибких планстин и оболочек, их приложения, Алматы, 2001 г.
- Е. Т. Божанов, А.М. Ибраимкулов, Б.А. Тулешева, Анализ численных результатов устойчивости выработок в толще горных пород под действием поперечных и осевых сил, Актобе, 2007г.
- А.И. Цейтлин, А.А. Кусаинов, Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкции, Алматы, 1987 г.
- З.М. Рахимбекова, Нелинейные стержневые системы за пределом упругости, Алматы, 2002 г,
- Р. Глазер, Очерк основ биомеханики: Перевод с нем./ под ред. С.А. Регирера., М, Мир, 1988, 176 с.
- Вибрационная техника: Использование вибрации в биологии и медицине / Под. Ред. К.Ф. Фролова, М., Наука, 1989, 157с.