Технические науки 2. Механика

Летучая С.А.

Днепропетровский национальный университет

Алгоритм решения дискретной контактной задачи

Контактная задача для двух упругих тел и с использованием вариационного подхода и дальнейшей дискретизацией минимизируемого функционала по методу конечных элементов сводится к решению системы уравнений (1) с ограничениями на перемещения узлов контакта и на контактные усилия в виде неравенств , , (2)

где К - матрица жесткости множества конечных элементов и ; и – вектор узловых перемещений; F – вектор заданных внешних сил; - вектор контактных усилий; Е – матрица с нулевыми и единичными элементами; - вектор - первоначального зазора, определяющий расстояние между противолежащими узламии в недеформированном состоянии; -предполагаемая площадка контакта, форма и предельные размеры которой могут быть указаны заранее, а площадка фактического контакта подлежит определению в процессе решения задачи.

В векторе выделим компоненты, описывающие перемещения точек контакта,,; ,, (3)

где - -й узел множества конечных элементов.

Соответствущие представления матрицы и вектора будут иметь вид

, (4)

где и .

(5)

Пользуясь обозначениями (3)-(5), перепишем (1) для и в отдельности

, (6)

. (7)

Выполнение кинематических граничных условий обеспечивается при формированиии матрицы преобразованием соответствующих диагональных элементов. Действие ограничений (2) необходимо рассматривать отдельно для каждого из случаев контактного взаимодействия и .В случае двусторонней связи первоначальный зазор = 0 и условие (2) имеет вид , или . (8)

Строки, соответствующие перемещениям и в выражениях (6) и (7), записываются следующим образом

(9)

. (10)

Из выражения (8) следует (11)

Подставив (11) в (10), получимоткуда

(12)

Если ввести обозначение,

то строки (9), (12) можно объединить путем суммирования левых и правых частей

.

Система уравнений (6)-(7) перепишется в виде

. (13)

Искомый вектор перемещений является результатом решения системы уравнений (13), где матрица жесткости и вектор внешних усилий в отличие от (4) и (5) сформированы с учетом условий контакта (8).После решения системы уравнений (13) и подстановки найденных значений вектора в (6) или (7) можно определить вектор контактных усилий .

Величина площадки фактического контакта определяется количеством узлов, в которых выполняется условие (8). В случае двустороннего контакта и множество узлов, принадлежащих площадке предполагаемого контакта , совпадает со множеством узлов, принадлежащих площадке фактического контакта .

При рассмотрении одностороннего контакта алгоритм решения задачи усложняется тем, что ограничения (2) записываются в виде неравенств. В этом случае учет контактных условий осуществляется в направленном переборе ограничений, выполняющихся со знаком строгого равенства, при отрицательных нормальных контактных усилиях.

Предполагаемая площадка конаткта делится на область сцепления и область отставания . Строится итерационный процесс, на каждом шаге которого решается система уравнений (13), в которой количество узлов контакта, а следовательно, и размерность вектора , изменяется в зависимости от выполнения условий (8) для вектора и условия (2) для вектора . Если в -м узле предполагаемой площадки контакта условия для перемещений выполняется со знаком строгого неравенства или значение , то контакт в -м узле нарушается. При этом -й узел попадает на площадку и размерность вектора уменьшается. На следующем шаге итерационного процесса вычисления повторяються, но уже для новых границ и . Процесс считается завершершенным, когда условия (2) выполняются без изменения границ площадок и , полученных на предыдущем шаге.