д.т.н. Скобло Т.С., Белкин Е.Л., Клочко О.Ю.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства имени Петра Василенко, Украина

ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПОНЯТИЙ УРАВНЕНИЙ

ГИДРОДИНАМИКИ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ АНАЛИЗА

МЕТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Целью исследования является установление, подчиняются ли структуры высоколегированных металлических сплавов до и после термообработки уравнению переноса вихря. То есть, в итоге – уравнению диффузии.

Исходные уравнения Навье-Стокса для двумерного случая [1]:

(1)

(2)

(3)

Уравнения (1) и (2) являются проекциями векторного уравнения количества движения (второго закона Ньютона), причем вязкие силы связаны со скоростью деформаций линейным ньютоновским законом для касательных напряжений, а уравнение (3) выражает закон сохранения массы. Свойства жидкости характеризуются плотностью и кинематической вязкостью . Уравнения (1), (2), (3) для физических переменных – составляющих скорости (по оси х) и (по оси у) и давления .

В данной работе были рассмотрены уравнения гидродинамики, с целью анализа металлографических изображений, поскольку, примененный здесь подход исследования цифровых изображений структур металла с помощью вихрей одинаково оказался применимым как для этого случая, так и для очень большого класса задач, так или иначе связанных с уравнениями (1)-(3).

Из уравнений (1) и (2) можно исключить давление, продифференцировав первое из них по у, а второе по х. Определим вихрь как

(4)

Уравнение переноса вихря обычно записывается в виде

(5)

Уравнение (5) можно также назвать уравнением теплопередачи или уравнением диффузии (концентрации). В правой части этого уравнения первые два члена являются конвективными членами, а третий – диссипативным.

Введем еще переменную - функцию тока, и обозначим

, (6)

Подставив (6) в уравнение сохранения массы (3), получаем уравнение Пуассона

(7)

Следует заметить, что уравнение сохранения массы (3) для без вихревых течений (ламинарный поток) будет при . Стационарное решение уравнений (5) и (7) будет при .

Далее применяется конечно-разностная схема для поочередного решения уравнений переноса (5) и функции тока (7).

В конечно разностной форме уравнение для функции тока выглядит так

(8)

Зададим , тогда

(9)

В качестве примем номер цвета для координат пикселя изображения и .

Задача работы состояла в определении степени вероятности, с которой имеющиеся изображения структур до и после термообработки удовлетворяют уравнению переноса вихря (5). Для решения поставленной задачи применялся метод наименьших квадратов.

В конечно разностной форме уравнение переноса вихря (5) имеет вид

(10)

(11)

Уравнений (10) является явной разностной схемой, (11) – неявной.

Первые два индекса при вихрях относятся к номерам точек (пикселей) на цифровом изображении, третий индекс относится к шагу по времени.

- шаг по времени;

и - шаги по координатам на цифровом изображении.

Считая , обозначим

;; (12)

Тогда

(13)

(14)

Обозначим для сокращения

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Метод наименьших квадратов в данном случае заключается в том, чтобы найти неизвестные коэффициенты , и из условий

(22)

(23)

В результате проведенных исследований получено, что от классического метода корреляции написанные функционалы отличаются только отсутствием свободного члена. Поэтому для решения по этому методу необходимо их продифференцировать по а, b и c. Из условия равенства нулю производных получаем матрицу нормальных уравнений. Находим парные коэффициенты корреляции, коэффициент множественной корреляции и значимость каждого фактора. В разработанной программе значимость определяется из сравнения остаточных дисперсий, когда вместо исследуемого фактора подставляется его среднее значение. Чем ближе отношение остаточных дисперсий к единице, тем менее значительным является вклад исследуемого фактора. Во всех проведенных расчетах исследованных металлографических структур получено, что конвективные члены (c коэффициентами a и b) являются незначимыми факторами. Значимым является только диссипативный член (лапласиан), при котором стоит коэффициент с.

Литература:

1. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. – 616с.