Ибрагимов У.М.
Южно-Казахстанский государственный университет,
Казахстан
условия оптимальности для задачи живучести дискретного включения
1. Введение. Задача
живучести относится к типу задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. Для таких задач принцип максимума Понтрягина сложно устроен
и труден в применении, кроме того, он может вырождаться.
С проблемой
живучести связаны следующие задачи, каждая из которых представляет
самостоятельный интерес [1]:
·
установление существования
оптимального управления;
·
выяснение слабой
инвариантности области выживания;
·
проверка не пустоты ядра
живучести области выживания;
·
построение ядра живучести
области выживания;
·
определение
выживающих траекторий для начальных точек из ядра живучести;
·
нахождение оптимальных траекторий для начальных
точек, не принадлежащих ядра живучести.
II. Постановка задачи. Рассматривается
дискретное включение
(1)
где 
- номер шага, 
- фазовый вектор, 
- многозначное
отображение, ставящее в соответствие каждой точке непустое подмножество 
.
Под решением включения (1) понимается всякая
последовательность 
, удовлетворяющая
включению (1) при всех .
Через 
обозначим совокупность
всех решений включения (1), удовлетворяющих начальному условию 
.
Пусть в 
выделено непустое
подмножество G, называемое областью
выживаемости. Для начальной точки 
и траектории 
через
:= 
обозначим первый номер шага, когда 
, т.е.
(2)
Экстремальная задача живучести (в области G) или, задача избежания столкновений (с множеством 
) для начальной точки ставится следующим
образом:
(3)
Траектория 
называется решением
или оптимальной траекторией задачи (3), если
{ 
}
Определение 1. Множество 
называется слабо инвариантным относительно включения если для любой точки 
существует траектория при 
для всех , т.е.
.
Такая траектория называется выживающей траекторией.
Определение 2.
Максимальное подмножество множества , слабо инвариантное относительно включения называется ядром
живучести множества Z относительно
включения и обозначается 
.
Инвариантные
множества управляемых систем рассматривались многими авторами. Отметим, например, работы [2,3].
III. Результаты:
Слабая инвариантность
области выживания. Следует
отметить, что доказательство необходимого и достаточного условия слабой
инвариантности замкнутого множества в дифференциальных включениях очень сложно
[4]. В случае дискретного включения аналогичный результат легко получается.
Теорема 1. Для того чтобы множество G было слабо инвариантным относительно включения необходимо и достаточно, чтобы для любого 
пересечение 
было непусто.
Доказательство. Доказательство достаточности
вытекает из того, что любая траектория дискретного включения
является выживающей.
Покажем необходимость. Пусть G – слабо инвариантно. Тогда по
определению слабо инвариантного множества для любой точки 
существует траектория такая, что 
для всех . В частности, 
и 
. Отсюда, 
для любой точки . Теорема
доказана.
Всюду в дальнейшем предполагается,
что G – замкнутое непустое подмножество и многозначное
отображение полунепрерывно сверху,
кроме того, при каждом значение 
компактно.
Существование оптимального управления
и построение ядра живучести. Для любого 
положим
{
Ø}
Построим последовательность множеств 
по рекурентной формуле
и введем множество
Лемма 1. Если 
– замкнуто, то 
также замкнуто.
Доказательство. Пусть – замкнутое подмножество . Возьмем произвольную последовательность {
} со значениями из , сходящаяся к некоторой точке 
при 
. По определению оператора 
имеем 
Ø для всех . Далее в силу полунепрерывности отображения для любого 
. Существует номер 
такой, что 
при всех 
, где 
. Следовательно,
Ø для всех .
Возьмем произвольную
последовательность положительных чисел 
, монотонно убывая стремящеяся к 0 при 
.
Пусть 
. Тогда, 
для всех . Поэтому из последовательности 
можно выделить
сходящегося последовательность {
}, которая сходится к некоторой точке 
при 
. Поскольку – замкнуто, то 
. С другой стороны,
при всех 
.
Поэтому,
для всех 
.
Далее, согласно лемме 1*
[5]
имеем
Лемма доказана.
В
следующей теореме устанавливается замкнутость ядра живучести замкнутого множества,
и предлагается новый метод построения ядра живучести.
Теорема 2. Ядро живучести множества 
замкнуто и оно
совпадает с множеством 
.
Доказательство. Согласно лемме
1 каждое из множеств 
, , замкнуто, и следовательно множество также замкнуто, как
пересечение замкнутых множеств.
Теперь докажем справедливость
равенства 
Покажем, что
(4)
Предположим противное. Тогда 
Ø, для
некоторого 
, т.е. 
Поскольку множество 
-компактно, а множества 
- замкнутые и монотонно убывающие, то
для некоторого .
Следовательно, 
Ø. Значит, 
. Таким образом, . Тем самым равенство (4) доказано.
Далее, согласно теореме 1 имеем
(5)
поскольку 
.
Возьмем произвольную точку 
. Тогда 
для некоторого . Возьмем произвольную траекторию , следовательно 
.
Пусть 
для некоторого 
.
Тогда согласно определению
оператора имеем
Ø.
Отсюда 
, поскольку 
Таким образом, согласно методу
математической индукции, получим
=G.
Отсюда 
для любой траектории , и следовательно
Таким образом
(6)
Учитывая (5)
и (6) , получим, что
.
Теорема доказана.
IV. Выводы. В статье получены достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина
для задачи живучести дискретного
включения. Рассмотренные задачи связаны с построением оптимальных траекторий для начальных
точек из ядра живучести, получением необходимой и достаточной условии непустоты
ядра живучести области выживания, которая каждая из них требуют дополнительной исследований.
Список литературы.
1.
Фазылов А.З.,
Ибрагимов У.М. О сильно
инвариантных множествах линейных управляемых систем // Наука и образование Южного Казахстана. Респ. науч. журн. сер. матем. инфор. и физ. 2003, №34. -с.130-133.
2. Feuer A., Heymann
J. Ω – invariance in control systems with
bounded controls // J. Math. Anal. and App. 1976. Vol. 53, No. 2. P. 266-276.
3.
Aubin
J.-P. A survey of viability theory //
SIAM J.Control and Optim.
1990. Vol. 28. No. 4. P. 749-788.
4.
Haddad G. Monotone trajectories of
differential inclusions and functional differential inclusions with memory // Israil J. Math.1981.V.39.No.1-2. P. 83-100.
5. Азамов А. О втором методе Понтрягина
в линейных дифференциальных играх преследования // Матем. сб. 1982, T.118, №3. С. 422-430.