Математика /4 Прикладна математика

К.ф.–м.н. Лазурчак І.І., Білецький Р.Р.

Дрогобицький державний педагогічний університет ім. Івана Франка, Україна

Аналітично-чисельні методи розв’язування

крайових задач

Розглянемо задачу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) другого порядку

Для випадку, коли функція має особливість в нулі вигляду вищі трансцендентні функції розв'язування задачі невідомі, тобто FD-метод не буде точно реалізованим.

Розглянемо для задачі випадок з коефіцієнтом диференціального оператора

і правою частиною

.

Відомий точний розв'язок задачі

.

Встановимо точку і систему рівновіддалених вузлів

.

При цьому отримаємо .

Кусково-сталу функцію будуємо за формулою

,

де , а , бо функція на кожному з проміжків розбиття є монотонно спадною і значення , вибрані у правих вузлах вказаних проміжків, будуть наближати її знизу.

Розглядались три варіанти а)-в) при різних значеннях та , що відображено в наступній таблиці:

Варіант
а)	2	0	19,360
б)	3		11,947
в)	46		0,992

У наступній таблиці подамо варіанти а)-в), враховуючи вибір різних значень кусково-сталої функції та параметри умов збіжності:

Варіант	а)		б)		в)
	0.1	0.6	0.1	0.6	0.1	0.6
	0.12616521	0.82999191	0.11614968	0.62223539	0.10029387	0.44706269
	-0.0266998	0.3926834	-0.0166843	-0.1849269	-0.0008285	-0.0097542
	-0.05431355	-0.3127361	0.08652302	0.32487322	0.09943433	0.43702853
	0.04515183	0.75004462	0.01294236	0.11243529	0.00003105	0.00027999
	0.16694017	1.39627481	0.10928659	0.51645656	0.09946652	0.43731695
	-0.0674748	0.9589663	-0.0098212	-0.0791481	-0.0000011	-0.0000084
	0.11262662	1.70901092	0.02276357	0.19158334	0.00003219	0.00028842

Наближення 0-2 -го рангів та їх відхилення від точних значень

З наведених таблиць видно, що у варіанті а) умови теореми не задовольняються і відповідно FD-метод – розбіжний. У варіантах б) і в) збіжність зберігається, хоча друга з умов забезпечується лише для останнього випадку. Це свідчить про те, що вказана умова не є обов’язковою, а лише достатньою.

Отже, внаслідок того, що , наближення парного порядку дають оцінку зверху, а наближення непарного порядку – оцінку знизу. Це експериментально засвідчує достовірність FD–методу. Отримані чисельні результати з достатньою точністю апроксимують шуканий розв’язок задачі на всьому заданому проміжку, включаючи окіл особливої точки.

Метод допускає отримання аналітичних зображень розв’язку. Для випадку варіанту б) подамо аналітичні наближення нульового рангу:

де – інтегрально-показникова функція.

На рисунку зображено графіки наближень 0-1 рангів та точний розв’язок (пунктирна лінія)

Аналіз результатів обчислювального експерименту підтверджує узгодження з теоретичними оцінками.

Література:

1. Лазурчак І.І. FD-метод розв'язування задачі Діріхле для сингулярного ЗДР другого порядку//Вісник ДУ "Львівська політехніка". Серія: Прикладна математика. – № 364. – Львів. –1999. – С.120-126.

2. Макаров В.Л., Гуминский В.В. FD-схемы любого порядка точности для сингулярно возмущенных систем ОДУ второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами// Диф. уравнения. - 1994. - Т.30. - С.292-301.