МАЛІ КОЛИВАННЯ НАВАНТАЖЕНОЇ НИТКИ

Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

МАЛІ КОЛИВАННЯ НАВАНТАЖЕНОЇ НИТКИ

Багато важливих технічних проблем, зокрема, динаміка елементів приладів, аналітично зводиться до вивчення коливань гнучкої однорідної нерозтяжної нитки з вагою, що закріплена на її вільному кінці, тоді як інший її кінець зафіксовано на нерухомій або пересувній опорі.

Диференціальне рівняння малих коливань нитки (рис.1) може бути представлене як -

(1)

Якщо на нитці у точці закріплена вага масою , тоді рівняння (1) буде справедливим тільки в межах ; вище точки закріплення цієї ваги, для ділянки , рівняння (1) змінюється, приймаючи форму -

. (2)

Щоб отримати диференціальне рівняння, яке визначає рух власне ваги , розглянемо систему сил, включаючи силу інерції, прикладених до нього (рис.2).

Тут - сила інерції, - вага вантажу, - зовнішня сила, яка діюча на вагу.

Дві сили, що залишилися, являють собою натягнення нитки над вагою та під нею. Сума проекцій цих сил на вісь y дає

(3)

Граничну умову у верхній точці нитки будемо розглядати як граничну умову I - го роду:

. (4)

Граничну умову в нижній точці отримуємо шляхом розгляду суми проекцій сил, прикладених до нижньої ваги, на вісь (рис. 3) -

, (5)

де - зовнішня сила, що діє на вагу ( направлена вздовж осі ).

Початкові умови для нитки -

; (6)

(7)

Для мас та умови їх кріплення на нитці зводяться до умови неперервності нитки, а ось значення їх швидкостей за часу будемо вважати заданими окремо.

(8)

(9)

У випадку, наприклад, удару по одному з вантажів (або по обох одночасно) їх початкові швидкості можуть відрізнятися від початкових швидкостей відповідних точок нитки.

Початкові і граничні умови, а також функції , , можуть варіюватися в широких межах. Задаємо їх у вигляді підпрограм-функцій

Function Yn(X:real):real;

Begin Yn:=Ym*Х/lng End;

Function DYn(X:real):real;

Begin Dyn:=0 End;

Function Yv(t:real):real;

Begin Yv:=Av*sin(Wv*t) End;

Function Fxt(S:integer; t:real):real;

Begin Fxt:=Az*sin(Wz*t)-Kdy*(Yt[S]-Yp[S])/Tau End;

Function Fm(t:real):real;

Begin Fm:=Am*sin(Wm*t)-Kdm*(Yt[m]-Yp[m])/Tau End;

Function Fg(t:real):real;

Begin Fg:=Ag*sin(Wg*t)-Kdg*(Yt[Sg]-Yp[Sg])/Tau End;

У підпрограмі Fxt неперервна змінна для зручності подальшого використання замінена на її дискретний аналог S=round(X/h), де h крок по координаті (h=/m), m - число ділянок, на які розбивається нитка вздовж її довжини. Точно так саме, в підпрограмах Fm і Fg сили опору, пропорційні швидкості руху відповідних вантажів, визначені через дискретні аналоги похідних за часом.

У загальному випадку

. (10)

Значення y в поточний момент часу зосереджені в масиві Yt, якщо - в масиві Yp.

Поділимо в (1) всі члени рівняння на і продиференціюємо вираз в квадратних дужках -

. (11)

Перейдемо до дискретних змінних.

(12)

Тут Sg=round(Xg/h).

Розв’язуємо (12) відносно :

(13)

Зазначені у формулі коефіцієнти дорівнюють ; ;; .

Стосовно доданку, , то з метою забезпечення рівняння (13) справедливим не тільки для ділянки нитки під вантажем , але і для ділянки над ним, його обчислення оформлюється у вигляді підпрограми -

Function Gn(S:integer):real;

Begin

If S>Sg then Gn:=M1/Mu+lng

Еlse Gn:=(M1+Mg)/Mu+lng

End;

При наявності вантажу за умови , точка повинна «обслуговуватися» відповідно до рівняння, яке в дискретній формі має вигляд -

Розв’язуємо отримане співвідношення відносно :

(14)

де ; ; .

Для закріпленого (верхнього) кінця нитки у відповідності з (4) маємо -

. (15)

Для нижнього кінця нитки ( для ), у відповідності з (5), отримуємо:

, (16)

де

Якщо , тоді замість 16 знаходимо –

(17)

де .

Якщо вантаж відсутній (вільний нижній кінець нитки, ), тоді в (16) при обчисленні коефіцієнта виникає ситуація ділення на нуль. Щоб уникнути цього «навантажимо» вільний кінець нитки масою, що дорівнює, наприклад, половині маси відрізка нитки довжиною , тобто (див. підпрограму CoefN).

Аналогічна ситуація виникає якщо (коефіцієнт в формулі (14)). Щоб обійти це ускладнення, можна перенести місце кріплення вантажу до точки , де за граничної умови 1-го роду на верхньому кінці нитки наявність або відсутність вантажу не має значення. Саме такий підхід реалізований в процедурі CoefN.

Розглянутий алгоритм виконання кроку за часом для нитки з массами і носить назву явної схеми. Він реалізований у вигляді підпрограми StepNit.

Procedure StepNit; {явна схема}

Var S:integer; Y:Coefr;

Begin

For S:=1 to m-1 do

Y[S]:=2*Yt[S]-Yp[S]+Е*(Yt[S-1]-Yt[S+1])(*Hx/2+

(Gn(S)-S*Hx)*(Yt[S-1]-2*Yt[S]+Yt[S+1])) +Gt*Fxt(S, t);Т:=t+Tau;

If (Sg>0) and (Sg<m) then Y[Sg]:=2*Yt[Sg]-Yp[Sg]+Е*(R1*(Yt[Sg+1]-Yt[Sg]*R2*(Yt[Sg]-(Yt[Sg-1]))+Gg*Fg(t);

Y[0]:=Yv(t);

If Sg<m

Then Y[m]:=(2*Yt[m]-Yp[m]+Е*Hx*Y[m-1]+G1*Fm(t))/(1+Е*Hx)

Else Y[m]:=(2*Yt[m]-Yp[m]+Е*Hx*Y[m-1]+G2*(Fm(t) +Fg(t))/(1+Е*Hx);

Y[- 1]:=m; Yp:=Yt; Yt:=Y

End;

Явна схема, що реалізується в процедурі StepNit, є умовно стійкою. Умова стійкості має вигляд -

. (18)

Розглянемо тепер, так звану, неявну схему:

(19)

та

(20)

Вводячи на розгляд раніше згадувану функцію , зведемо співвідношення (19), (20) в одне і наведемо його у вигляді -

(21)

де ; ; ; ; .

Система (21) доповнюється умовою , а також граничними умовами, після чого розв’язується методом прогонки за схемою -

. (22)

Щоб отримати рекурентні формули для ,, замінимо в (21) його значенням із (22), а на :

Останнє рівняння зводиться до вигляду -

. (23)

Зіставляючи (23) з (22), отримуємо –

(24)

де .

Для точки у відповідності до (3) в момент часу , маємо -

Помножимо останнє співвідношення на і замінимо його значенням із (22), перетворивши на . Отримуємо:

(25)

Зіставляючи (25) з (22), приходимо до висновку, що

(26)

де .

Після того, як коефіцієнти , визначені, можна записати у відповідності з (22) для :

. (27)

Гранична умова для кінця нитки, коли , приводиться до вигляду

Перетворимо його:

, (28)

де ;.

Якщо ж , тоді коефіцієнт в останньому виразі модифікується -

Коли порівняти праві частини (22) і (23), то одержимо:

. (29)

Після визначення , виконання зворотного ходу за методом прогонки зводиться до реалізації залежності (22) для , що змінюється від до 0 включно. Розглянутий алгоритм реалізується в підпрограмі StepNitN.

Procedure StepNitN; {неявна схема}

Var Vs, As, Bs, Cs, Fs, Zg:real;

S:integer;

А, В, Y:CooefR;

Begin

t:=t+Tau;

А[0]:=0; В[0]:=Yv(t);

For S:=1 to m-1 do

If S<>Sg Then Begin

Vs:=Gn(S)-S*Hx; As:=- Е*(Hx/2+Vs); Bs:=2*Е*Vs; Cs:=Е*(Hx/2-Vs);

Fs:=2*Yt[S]-Yp[S]+Gt*Fxt(S, t); Zs:=As*А[S-1]+Bs;

А[S]:=- Cs/Zs; В[S]:=(Fs-As*В[S-1])/Zs

End

Else Begin

Zg:=1+Е*(R1+R2*(1-B[Sg-1])); А[Sg]:=Е*R1/Zg;

В[Sg]:=(2Yt[Sg]-Yp[Sg]+ЕR2А[Sg-1]+Gg Fg(t))/Zg

End;

If Sg<m Then E2:=(2*Yt[m]-Yp[m]+G1*Fm(t))/Е

Else E2:=(2*Yt[m]-Yp[m]+G2*(Fm(t)+Fg(t))/Е;

Y[m]:=(В[m-1]+E2)/(E1-A[m-1]);

For S:=m-1 downto 0 do Y[S]:=А[S]*Y[S+1]+В[S]; Y[- 1]:=m; Yp:=Yt; Yt:=Y

End;

Початковий стан нитки задається масивами Yp (для ) і Yt (для ). Масив Yp формується відповідно до підпрограми-функції Yn, а масив Yt - розкладанням в ряд Маклорена в околиці точки , обмежуючись в ньому першими трьома доданками: