Чернышов С. А.,

 Ивахненко Н. Н.

ДонНУЭТ

ДИНАМИКА ФЕРХЮЛЬСТА И ДИНАМИКА РОСТА КАПИТАЛА В ЭКОНОМИКЕ

В данной работе рассмотрена обобщенная модель воспроизводства капитала. Получено уравнение роста ка­питала во временных точках, пропорциональных циклу оборачиваемости капитала в процес­се его воспроизводства. Утверждается, что при нелинейной зависимости капитализации при­были динамика роста капитала идентична динамике Ферхюльста, описывающей рост попу­ляции в природе. Исходя из этого, выдвигается гипотеза фрактальной экономики, в которой экспоненциальный рост капиталистической экономики может стать циклическим и даже ха­отичным в зависимости от величины маржинальной рентабельности воспроизводственного процесса.

Динамика Ферхюльста описывает изменение численности популяции хn в году n при нели­нейном коэффициенте прироста R:

                                                                    (1)

Если прирост равен константе r, то закон, управляющий динамикой роста популяции, определя­ется уравнением:

                                                (2)

а численность xn вычисляется по формуле

                                                                 (3)

где х0 - начальная численность при п = 0.

Ферхюльст считал, что численность популяции, заполняющей экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального значения (которое можно положить равным еди­нице). Он предположил, что коэффициент прироста должен уменьшаться с ростом хn пропорци­онально разности (1 —хn), т.е.

                                                                 (4)

Таким образом, закон, определяющий динамику изменения популяции, теперь будет выглядеть так:

                                      (5)

Динамику роста с постоянным коэффициентом прироста R = r принято называть экспоненци­альной. Она носит возрастающий характер независимо от величины параметра r.

Совсем иначе обстоит дело с нелинейной динамикой Ферхюльста. Нелинейная динамика Ферхюльста зависит от величины параметра r. Эта зависимость оказалась необычайно сложной. Увеличение r приводило сначала к периодическим колебаниям популяции с определенным пе­риодом. При дальнейшем увеличении параметра r период колебаний численности популяции начинал последовательно удваиваться. Наконец, увеличение r нарушает периодичность колеба­ний и численность популяции начинает прыгать около бесконечного числа значений. Процесс изменения численности популяции становится непредсказуемым, несмотря на его изначальную детерминированность.

Исследования последних лет показывают, что динамика экономических систем различного уровня (отрасли, производственные и торговые предприятия, кредитные организации и другие объекты экономики) адекватно описывается многозвенными операторными звеньями, охвачен­ными положительными и отрицательными обратными связями.

Долгое время непреодолимым препятствием для восприятия экономистами динамических моделей являлось отсутствие экономической интерпретации динамической характеристики: по­стоянной времени инерционного звена τ. В настоящее время можно утверждать, что постоянная времени инерционного звена τ "приобрела экономический смысл". В экономической системе, описывающей динамику процесса непрерывного расширен­ного воспроизводства, она тождественна времени оборачиваемости капитала τ = τоб.

Рост капитала K(t) в экономической системе воспроизводства с непрерывными потоками де­нежных поступлений и платежей описывается экспоненциальным уравнением:

                                                         (6)

где K0 — начальный объем капитала в момент времени t = 0; р - рентабельность, т.е. отношение прибыли к затратам; β — коэффициент капитализации прибыли, показывающий, какая доля прибыли направляется на увеличение капитала.

Эффективность воспроизводства капитала E, равная отношению прибыли yn(t) к текущей ве­личине капитала K(t), определяется соотношением:

                                         (7)

Уравнения (6) – (7) являются фундаментальными, определяющими динамику роста экономиче­ской системы.

Однако в рыночной экономике в практике экономических расчетов широко применяется ка­тегория добавленной стоимости. Она служит исходным показателем как для расчета цены про­дукции, доходности капитала, так и для формирования рентабельности. Поэтому для вычисле­ния динамики роста капитала возьмем модель расширенного воспроизводства капитала с ис­пользованием этого показателя. Последнее обстоятельство не означает отрицания показателей эффективности, основанных на рентабельности предприятия и времени оборачиваемости капи­тала в соответствии с (7).

В роли системы воспроизводства капитала могут выступать предприятие, отрасль народного хозяйства, национальная экономика в целом. В дальнейшем будем использовать термин "пред­приятие". Исходным допущением при конструировании блок-схемы динамической модели яв­ляется непрерывный характер потоков денежных поступлений на счета и платежей предприятия (в дальнейшем слово лоток иногда будет опускаться). Такое допущение справедливо, если имеет место достаточно большой ежедневный объем финансовых операций, а средние показатели вы­числяются на достаточно большом промежутке времени, например равном одному месяцу.

Интегральные характеристики предприятия (ежемесячный доход, расходы, средняя величина собственного основного и оборотного капитала, привлеченные ресурсы и др.) являются обще­принятыми агрегированными экономическими показателями их деятельности, характерными для детерминированной системы. Очевидно, правомерно рассматривать предприятие как детерминированную систему, параметры которой структурно взаимосвязаны, могут измеряться, име­ют свою динамику и свою траекторию изменения во времени, которую можно прогнозировать и планировать.

Метод моделирования систем автоматики. В модели денежные ресурсы  и финансовые потоки ресурсов являются векторами на входе и выходе операторных звеньев. Вектор на выходе звена равен произведению входного вектора на передаточный коэффициент звена W(s). Опера­ция дифференцирования имеет передаточную функцию W(s) = s, а операция интегрирова­ния – W(s) = 1/s. Передаточный коэффициент многозвенной системы представляется в виде алгебраической функции от комплексной пе­ременной s. Эта функция называется изобра­жением функции оригинала от аргумента времени t.

Переход от функции-изображения f(s) к функции-оригиналу f(t)  выполняется по прави­лам операционного исчисления Лапласа. Таким образом, метод определения временной зависи­мости вектора состоит из трех этапов:

1.                конструируется блок-схема модели;

2.       на основе блок-схемы вычисляется уравнение для вектора в виде функции от аргумента s;

3.       по таблице соответствия находится временная функция вектора.

Особенностью модели является наличие контура положительной обратной связи, определяю­щей главное свойство модели: свойство саморазвития после подачи вектора собственного началь­ного капитала K0. При Kо = 0 система остается в режиме покоя, все другие векторы равны нулю. По­сле подачи на вход модели Kо > 0 система переходит из состояния покоя в состояние динамического роста. Величина каждого вектора со временем будет меняться.

Обозначим символом βд коэффициент капитализации добавленной стоимости, показываю­щий долю добавленной стоимости, направляемую на увеличение капитала:

                                               (8)

Капитал Kт генерирует поток перенесенной сто­имости продукции             упс = Km/τоб. Поток выручки связан с потоком себестоимости оператором с коэффициентом передачи W = 1 + pдс. Коэффи­циент рдс — это, по существу, маржинальная рен­табельность

                                 (9)

Поток добавленной стоимости удс преобразует­ся интегрирующим звеном с коэффициентом передачи W = 1/s в пространстве изображений
по Лапласу в добавленную стоимость Yдс полу­ченную за период [0; t]. Другими словами, поток преобразуется в объем стоимости, получаемой за период [0; t] нарастающим итогом. Часть это­го объема, равная доле βд Yдс = ∆K, суммируется с начальным капиталом, увеличивая текущий ка­питал.

Запишем уравнение роста капитала в зависимости от времени:

                        (10)

 

Обозначим моменты времени, кратные периодам времени оборачиваемости капитала , через

                                                            (11)

Подставим (11) в (10) и получим уравнение для расчета капитала во временных п точках, кратных времени оборачиваемости капитала

                                                (12)

В уравнении (10) выражение в скобках заменим первыми двумя членами разложения в ряд Маклорена

                                                (13)

Таким образом, уравнение (10) примет вид

                           (14)

Запишем коэффициент прироста R для капитала, вычесляемого по формуле (14):

                                                 (15)

Введем обозначение

              r =                                 (16)

В линейной системе доля капитализируемой прибыли  = const и рентабельность  = const, следовательно, r =  = const. Таким образом, закон, управляющий динамикой роста капитала, будет определяться уравнением:

                 (17)

Данное уравнение совпадает c уравнением численности популяции с экспоненциальным ростом.

Очевидно, что для экономической системы, функционирующей в рамках капиталистическо­го рынка, как и для популяции в природе, имеется своя ниша и свой потолок роста. В связи с этим будем исходить из гипотезы, что с ростом выпуска доля капитализируемой прибыли, на­правляемая на расширение воспроизводства, будет уменьшаться. Предположим, что доля капи­тализируемой прибыли будет уменьшаться пропорционально росту капитала, пока капитал не достигнет максимума Kмакс при котором  = 0:

                                                       (18)

Подставив (18) в правую часть (15), после преобразования получим

          (19)

 

Разделим левую и правую часть уравнения (19) на , тогда

           (20)

Введем новую переменную xn =, тогда xn + 1 = /, после чего уравнение (20) можно записать в виде

                                               (21)

Сравнивая уравнение (21) с (5), замечаем, что оба уравнения идентичны. Следовательно, нели­нейная динамика роста относительной величины  капитала будет аналогична нелинейной ди­намике Ферхюльста.

Характер динамики роста капитала будет зависеть от величины маржинальной рентабельно­сти  воспроизводственного процесса, так же как и динамика роста численности популяции от параметра роста r. По существу маржинальная рентабельность  является параметром роста для капитала в экономике. В зависимости от ее величины нелинейная динамика капитала будет пре­терпевать последовательно все качественные изменения, свойственные процессу для нелиней­ной динамики Ферхюльста.

Подобные процессы с нелинейной динамикой относятся к математической теории фракта­лов. По аналогии назовем изложенные результаты гипотезой фрактальной экономики. Как следует из этой гипотезы, динамика роста капитала во фрактальной экономике существенно меняется с увеличением величины маржи­нальной рентабельности . В пределах изменения  до 200% в экономике наблюдаются про­цессы саморегулирования. Однако при увеличении  парадигма саморегулируемой экономики не работает.

Гипотеза фрактальной экономики может существенно изменить сложившиеся представления о причинах и закономерностях циклических колебаний в экономическом развитии. Для полно­ценного развития гипотезы фрактальной экономики необходимо преодолеть барьер одномерно­го измерения капитала и потоков ресурсов, что потребует представления капитала в форме ком­плексного числа на комплексной плоскости. Капитал при этом должен иметь действительную часть, которая, возможно, отражала бы фактическую стоимость  и мнимую. Это позволит в полной мере использовать теорию комплексных динамических систем, описать с более общих позиций переход от порядка к хаосу и исследовать роль множества Мальденброта в экономической динамике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                   Пайтген Х.-О., Рихтер Л.Х. (1993): Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир.

2.                   Петере Э.Э. (2004): Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг.

3.                   Царьков В.Л. (2004): Моделирование экономической динамики предприятия //Аудит и финансовый ана­лиз. № 4.

4.                   Царьков В.А. (2007): Динамические модели экономики. Теория и практика экономической динамики. М.: Экономика.